Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2018-01-07 | 192 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
МЕХАНИКА
Учебное пособие для самостоятельной работы
По курсу физики
Санкт-Петербург
Механика. Учебное пособие для самостоятельной работы по курсу физики.
Альтмарк А.М., В.М. Вяткин, В.В.Морозов, Посредник О.В.
Под редакцией.
Содержит основные формулы и примеры решения задач по курсу «Общая физика», раздел «Механика». Предназначено для студентов 1-го курса технических факультетов СПбГЭТУ «ЛЭТИ».
О Г Л А В Л Е Н И Е
Стр.
К И Н Е М А Т И К АП О С Т У П А Т Е Л Ь Н О ГО И В Р А Щ А Т Е Л Ь Н О Г О Д В И Ж Е Н И Я
Поступательное движение 7
Вращательное движение 16
Связь между линейными и угловыми величинами 17
Относительное движение 18
Сложное поступательно-вращательное движение тела 21
Среднее значение физической величины. Средняя скорость и ускорение 23
Д И Н А М И К А П О С Т У П А Т ЕЛ Ь НО Г О Д В И Ж Е Н И Я
Центр масс тела и системы тел 26
Силы в механике 31
9. Законы Ньютона 35
Второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета. Силы инерции 40
Второй закон Ньютона для вращающегося тела 46
Второй закон Ньютона для системы тел 48
Закон сохранения импульса системы тел и положения ее центра масс 49
Столкновения тел 52
Работа и мощность силы. Диссипативные силы 53
Теорема о кинетической энергии тела или основная теорема механики 54
Консервативные силы. Потенциальная энергия тела в поле консервативной
Силы 57
Связь между потенциальной энергией и консервативной силой 57
Потенциальная энергия взаимодействия тел 57
Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической 58 энергии
|
Гидростатика и гидродинамика 59
Д И Н А М И К А В Р А Щ А Т ЕЛ Ь Н О Г О Д В И Ж Е Н ИЯ
Моменты силы и импульса тела 64
Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера 64
Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного
Движения 75
Закон сохранения момента импульса 80
Работа и мощность момента силы 82
Кинетическая энергия вращающегося тела 83
К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н О Е Д В И Ж Е Н И Е
Гармонические колебания 88
Определение начальной фазы колебаний 90
Уравнение гармонического осциллятора. Собственные частоты и периоды колебаний математического, физического и пружинного маятников 91
Кинетическая, потенциальная и полная энергия колеблющегося тела 93
Затухающие колебания. Уравнение гармонического осциллятора с затуханием 94
Характеристики колебательной системы с затуханием 96
Вынужденные колебания 97
Введение.
Вы поступили в ЛЭТИ, чтобы получить высшее образование. Это значит, что Вами принято мотивированное решение за годы учебы в университете овладеть знаниями и умениями, необходимыми для начала самостоятельной деятельности. И, конечно же, чем лучше удастся претворить в жизнь принятое решение, тем быстрее и успешнее пойдет Ваша карьера, тем интереснее будет работать, тем выше будет качество Вашей жизни.
Тем не менее, среди студентов, часто бытует мнение, что профессиональные знания и умения они получают только при изучении специальных дисциплин. Это – заблуждение. Фундаментальные знания являются основой для успешного изучения специальных дисциплин. Нельзя построить здание на песке, нельзя получить профессиональные знания и умения без фундаментальных дисциплин.
Физика занимает особое место в подготовке специалиста с высшим образованием. В государственном образовательном стандарте приведены квалификационные характеристики специалиста, а также перечень знаний и умений, необходимых для начала самостоятельной деятельности. Спросите любого успешного специалиста, и он Вам скажет, что основы большинства этих знаний и умений формируются при изучении физики.
|
Более того, специалисту с высшим образованием необходимо постоянно решать различные задачи: технологические, конструкторские, исследовательские. Причем, в процессе самостоятельной деятельности приходится не только искать способ решения этих задач, но и формулировать технические задания для себя и других, т.е. составлять условия задачи.
Именно поэтому среди компетенций, необходимых специалисту с высшим образованием, важная роль уделяется познавательной деятельности (умение учиться – это тоже задача, которую каждый решает для себя), экспериментальной деятельности (умение выбрать методику, правильно организовать измерения и грамотно обработать их результаты), грамотному выполнению расчетов. В этом перечне легко заметить основные виды занятий, которые проводятся при изучении курса физики в вузе. Будьте уверены, что чем раньше Вы начнете вырабатывать в себе соответствующие умения и навыки, тем лучше Вы будете подготовлены к дальнейшему обучению и самостоятельной работе.
Изучив курс физики, Вы поймете, что физика обладает той особенностью, что методы, принципы и понятия, используемые в физике, так или иначе присутствуют практически в любой дисциплине (и не только инженерной), таким образом, изучая физику, студент приобретает элементарные навыки ремесла, которые, часто интуитивно, позволяют специалисту применить тот или иной технический прием в своей работе. Однако, достигнуть этого можно лишь в результате упорного труда, систематического, целенаправленного и самостоятельного
Учебное пособие, которое Вы сейчас читаете, как раз и предназначено для правильной организации самостоятельной работы и подготовки к лабораторно-практическим занятиям, в той их части, где требуется выполнение индивидуального домашнего задания.
В этой книге собран материал, относящийся к разделам «Молекулярная физика», «Основы термодинамики», «Элементы статистической физики», «Явления переноса». Пособие построено таким образом, что разбираемые задачи постепенно усложняются в каждом разделе, так, что последние в списке задачи несколько выходят за рамки стандартной программы нашего университета. Тем не менее, мы рекомендуем ознакомиться и с этими задачами, хотя для выполнения индивидуального задания, на наш взгляд, достаточно понять несколько первых задач в каждом разделе. Мы надеемся, что среди читателей этой книги есть любознательные студенты, интересующиеся физикой.
|
При внимательном анализе разного рода задач по различным разделам курса и дисциплинам можно отчетливо видеть, что различие их между собой состоит только в содержании и цели, а по характеру деятельности, нужной для решения, все они практически одинаковы. Более того, сравнительный анализ приемов решения производственных и учебных задач показывает, что они имеют сходную структуру, иначе говоря, при решении любой задачи необходимо выполнять одни и те же этапы.
1. Анализ содержания задачи, краткая запись условий и требований.
2. Поиск способа решения задачи и составление плана решения.
3. Решение задачи, проверка правильности решения, оформление решения.
4. Анализ выполненного решения, отбор информации, полезной для будущей деятельности.
Общие приемы, которые вырабатываются у Вас в процессе учебы, и практического решения учебных задач, позволят Вам освоить общий подход к решению задач любого типа, ознакомиться с основными особенностями каждого из этапов процесса решения. В конечном итоге Вы получите умения, необходимые для самостоятельной работы, т.е. овладеете тем, что сейчас называют «практико-ориентированной» подготовкой.
В этом. Вам поможет серия учебных пособий, подготовленных ведущими преподавателями кафедры
Поступательное движение
Существуют следующие методы описания поступательного движения тела (материальной точки): энергетический, векторный, координатный и естественный.
Энергетический подход к решению задач кинематики. В этом подходе используется закон сохранения полной механической энергии, согласно которому, если тело движется только в поле консервативных сил (в большинстве задач достаточно знать, что на тело не действуют силы трения), то его полная механическая энергия сохраняется: , где кинетическая энергия тела, потенциальная энергия тела в поле силы тяжести земли, m – масса тела, v – его скорость, h – высота тела над поверхностью земли, g – ускорение свободного падения.
|
Для двух произвольных точек траектории при движении тела в поле силы тяжести закон сохранения энергии имеет вид
,
Откуда .
Отсюда следует, что независимо от траектории движения тела на одной и той же высоте оно имеет одинаковую скорость . Направления векторов скорости тела в разных точках траектории могут быть при этом разными.
Если учесть, что ,где , то можно написать закон сохранения энергии в направлении оси Y
Пример 1. Тело брошено с высоты под некоторым углом α к горизонту с начальной скоростью (рис.1). Найти скорость падения тела на землю, его максимальную высоту подъема и направление вектора его скорости к горизонту при падения на землю. Зависит ли скорость падения тела на землю от угла α его броска к горизонту?
(рис.1)
Дано: 1) .
Найти:
Решение: Согласно закону сохранения энергии для точек броска и падения тела на землю
скорость падения тела на землю .
Используя закон сохранения энергии в направлении оси Y для точек броска и
максимальной высоты подъема тела , найдем
.
Угол падения тела на землю определяется условием .
Ответ: независимо от угла α броска тела оно упадет на землю с одной и той же скоростью . Однако направления к горизонту векторов скорости тела при разных углах α его броска при его падении на землю будут разными и определяются условием . Максимальная высота подъема тела .
Вращательное движение
Вращательное движение тела описывается углом поворота тела , его угловой скоростью ω и угловым ускорением ε, которые являются аналогами величин s, v, , используемыми для описания поступательного движения тела. Согласно определению
.
Параметры являются векторами. Направление векторов совпадает с направлением оси вращения тела (рис.7) и связано с ним правилом правого винта: если правый буравчик вращать по направлению вращения тела, то направление его движения укажет направление векторов .Вектор ε в случае фиксированной неподвижной оси вращения также направлен вдоль оси вращения. Он параллелен вектору ω при ускоренном вращении тела и антипараллелен ему при его замедленном вращении.
Рис.7
Элементарный поворот d ϕ тела всегда вектор, однако угол поворота тела является вектором только при вращении тела вокруг фиксированной оси его вращения.
Изменение угловой скорости тела Δ ω и угол его поворота за время вращения тела t равны
,
где – начальная угловая скорость и начальное угловое положение тела при t=0.
При вращении тела с постоянным угловым ускорением уравнения вращательного движения имеют вид
|
.
где + ε и – ε соответствуют ускоренному и замедленному вращению тела.
Наряду с угловыми величинами (рад) и ω (рад/с) для описания вращательного движения используются величины N (об) – число оборотов тела и n (об/с) – частота вращения тела, определяемые соотношениями и . В терминах этих величин уравнения вращательного движения при имеют вид
Однако, если ε =0 и то .Только в этом случае частота вращения тела может рассчитываться по формуле и можно ввести понятие периода T вращения тела (n=1/T). Это можно отнести к описанию вращения Земли вокруг своей оси.
3. Связь между линейными и угловыми величинами
Угловые величины для всех точек вращающегося тела относительно любых параллельных осей вращения одинаковы, а линейные величины различны. Для установления связи между ними используют определение радианной меры угла , опирающегося на дугу длиной s окружности радиуса R: и определения линейных величин. В результате получим следующие уравнения связи
,
где в случае Угол между векторами a и v в некоторый момент времени t определяется соотношением
рис.8
В теории представляет интерес векторная связь между векторами v и ω: , где r -вектор, проведенный из произвольной точки О на оси вращенияZ в произвольную точку вращающегося тела (рис.8). Направления векторов v и ω cвязаны между собой правилом правого винта. Переходя к скалярной форме, получим , где – угол между векторами ω и r, расстояние от рассматриваемой точки тела до его оси вращения Z или радиус окружности, по которой эта точка вращается.
Пример 1. Тело, вращающееся по окружности радиуса R с постоянным угловым ускорением, увеличило свою частоту вращения от до оборотов в секунду, совершив при этом оборотов. Найти угловое ускорение вращения тела и время его вращения, угол его поворота, начальную и конечную угловые скорости. Чему равны путь, пройденный телом вдоль окружности, его начальная и конечная скорости, касательное, центростремительное и полное ускорение?
Дано: Найти:
Решение: Построим решение задачи в виде последовательного алгоритма. Число оборотов N тела при дается уравнениями
.
Откуда находим угловое ускорение и время вращения тела
.
Угол поворота и угловые скорости тела: . Линейные величины: .
Ответ: , ,
.
Относительное движение
Рассмотрим произвольную неподвижную систему отсчета XOY с началом в точке О, и движущуюся систему отсчета , положение начала координат которой относительно точки О задается радиус-вектором , а точка движется относительно XOY со скоростью и ускорением .Обозначим через положение, скорость и ускорение некоторой точки (она может принадлежать и твердому телу) в системе координат XOY, а через те же параметры этой точки в системе координат
Рис.9
Учитывая, что (рис.9) и последовательно дифференцируя по времени обе части этого равенства, придем к следующим уравнениям связи
между скоростями и ускорениями рассматриваемойточки в неподвижной и движущейся системах отсчета.
Движение в неподвижной СО называют также абсолютным, движение подвижной СО относительно неподвижной – переносным, а движение тела в движущейся СО – относительным.
Пример 1. Тело, движущееся со скоростью , сталкивается абсолютно упруго с движущейся со скоростью вертикальной массивной стенкой. Найти скорость тела после соударения со стенкой.
Дано: . Найти:
Решение: Будем считать стенку, движущуюся со скоростью , движущейся системой отсчета. Обозначим скорость тела в этой системе отсчета. Тогда скорость те ладо его столкновения
. После столкновения со стенкой тело вследствие абсолютно упругого удара приобретет относительно стенки скорость , и его скорость станет равной . Из этих двух уравнений получим: .
В проекциях на направление движения тела и стенки при их встречном движении получим . В случае же движения стенки и тела в одном направлении . Отсюда следует: если стенка движется от тела со скоростью , то тело после столкновения с ней остановится .Чтобы тело отскочило от удаляющейся стенки, она должна удаляться от него со скоростью .
Ответ: .
Пример 2. Скорость струи пара перед попаданием на лопатки паровой турбины равна . Какой должна быть скорость лопаток, чтобы вся кинетическая энергия струи пара могла перейти в энергию вращения турбины?
Решение: Чтобы вся кинетическая энергия струи пара перешла в энергию вращения турбины, его скорость после отражения от лопаток должна равняться нулю . Согласно примеру 1 получим . Это соотношение выполняется в рабочем режиме турбины.
Ответ: .
Пример 3. Два автомобиля движутся по одной дороге. Скорость первого автомобиля , а второго – . Найти относительную скорость движения автомобилей при их движении в одном направлении и навстречу друг другу.
Дано: . Найти:
Решение: Свяжем с первым автомобилем движущуюся СО. Тогда , а относительная скорость второго автомобиля относительно первого , его абсолютная скорость относительно земли . Откуда относительная скорость автомобилей .
При движении автомобилей в одном направлении в проекциях на направление их движения получим . При встречном движении автомобилей в проекциях на направление движения любого из автомобилей: .
Ответ: при движении автомобилей в одном направлении, при встречном движении автомобилей.
Пример 4. Два тела бросают с поверхности земли вертикально вверх с начальными скоростями и с задержкой по времени, равной τ. Найти относительную скорость движения тел в произвольный момент времени.
Дано: . Найти:
Решение: проекции абсолютных скоростей тел на вертикальное направление их движения равны и . Проекция относительной скорости тел на вертикальное направление . Относительная скорость тел в любой момент времени одинакова.
Ответ: .
Пример 5. Два тела движутся в одной плоскости, их скорости изменяются по закону , . Найти скорость движения их ЦМ, импульс системы и скорости тел относительно их ЦМ. Отличаются ли относительные скорости тел в неподвижной СО и в системе их ЦМ?
Дано: , . Найти:
Решение: Система понятий, используемых в данной задаче, введена в разделах 7 и 12 (Центр масс и второй закон Ньютона для системы тел). Задачу будем решать в векторной форме. Скорость ЦМ системы двух точек
Импульс системы совпадает с импульсом ее ЦМ: .
Если скорость тела относительно ЦМ , а скорость ЦМ относительно земли , то скорость тела относительно земли , откуда . В частности,
,
,
Скорости тел относительно друг друга в неподвижной СО и системе ЦМ
,
то есть относительные скорости тел в обеих системах отсчета одинаковы.
Ответ: , , ,
, .
Силы в механике
Сила – это векторная мера взаимодействия тел (скалярной мерой взаимодействия является потенциальная энергия тела ).
Любая сила характеризуется ее величиной, направлением и точкой приложения. Осуществлять параллельный перенос начал векторов сил, действующих на тело, в одну точку в задачах на поступательное движение тела нежелательно, а в задачах на вращательное движение тела вообще нельзя, так как это приведет к неправильному решению задачи.
К механическим силам, действующим на тело, относятся:
1. Реакции связейN, T, R и т.д. Связь (опора) – это любое тело, ограничивающее движение другого тела (поверхность какого-либо тела, нить). Реакции связей не имеют конкретного способа вычисления и их находят из второго закона Ньютона.
2. Сила трения скольжения , где μ – коэффициент трения тела о поверхность связи, N – нормальная реакция связи. Силу трения покоя находят из условия равновесия тела на поверхности. Силу трения качения и скольжения тела находят из основных динамических принципов: второго закона Ньютона или основного закона динамики вращательного движения.
3. Гравитационная сила или сила тяжести согласно закону всемирного тяготения Ньютона
где γ – гравитационная постоянная, M и m – гравитационные массы взаимодействующих тел, r –расстояние между их центрами. Если M – масса планеты, то g – это ускорение свободного падения на расстоянииr от центра планеты. Для планеты радиуса R (для Земли ) ускорение свободного падения на высоте h от поверхности планеты равно
где – ускорение свободного падения на поверхности планеты. Для Земли Масса тела, входящая в закон всемирного тяготения, называется гравитационной, а входящая во второй закон Ньютона – инертной. Это разные массы. Равенство единиц измерения инертной и гравитационной масс достигается соответствующим опытным выбором гравитационной постоянной
Рис.33
На наклонную плоскость действует сила тяжести и сила давления тела на нее, и второй закон Ньютона для плоскости в неподвижной СО будет иметь вид .
Для решения задачи выберем две СО: неподвижную XOY, связанную с поверхностью, на которой находится наклонная плоскость, ось X которой направлена по ускорению наклонной плоскости, и движущуюся СО , связанную с движущейся наклонной плоскостью, ось которой направлена по ускорению соскальзывания тела с наклонной плоскости.
Спроецируем силы, действующие на тело, на ось движущейся СО. Получим
. Откуда реакция наклонной плоскости, действующая на тело, и сила давления тела на плоскость равны
.
Проецируя силы, действующие на наклонную плоскость, на ось X неподвижной СО, получим
.
Откуда ускорение наклонной плоскости .
Второй закон Ньютона для тела в проекциях на ось движущейся СО будет иметь вид
.
Откуда ускорение , с которым тело соскальзывает с наклонной плоскости, будет равно
.
При , как и должно быть, и . Ускорения плоскости и тела связаны соотношением .
Ответ: , , .
Пример 8. Найти в примере 7 смещение наклонной плоскости по горизонтали после того как тело опустится на высоту h. Чему будут равны скорости тела и наклонной плоскости в этот момент времени?
Дано: . Найти:
Решение: Путь, проходимый телом вдоль наклонной плоскости за время t, и смещение плоскости за это время описываются уравнениями и . Откуда с учетом примера 7 . Скорость тела , а наклонной плоскости ― .
Ответ: , , .
Пример 9. Решить задачу в примере 7 в предположении, что между телом и наклонной плоскостью действуют силы трения. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен μ.
Дано: . Найти:
Решение: Согласно примеру 7 силы трения (рис.33), действующие между телом и плоскостью равны
Второй закон Ньютона для наклонной плоскости в направлении оси Xбудет иметь вид:
Откуда ускорение наклонной плоскости
Второй закон Ньютона для тела в проекциях на ось движущейся СОбудет иметь вид:
Откуда ускорение тела относительно наклонной плоскости
Ответ: , .
Столкновения тел
Различают следующие виды соударений тел: абсолютно неупругое, частично-упругое и абсолютно упругое. Если процесс столкновения быстрый , то имеет место закон сохранения импульса в системе сталкивающихся тел.
Абсолютно неупругое столкновение тел. При этом виде столкновения тела слипаются и после столкновения движутся вместе(рис.38).
Рис. 38
Любое столкновение тел описывается законом сохранения импульса и энергии. В данном случае, обозначив импульсы тел до и после столкновения , , и Q – выделившееся при ударе тепло, получим
.
Возведя первое равенство в квадрат, найдем квадрат импульса тел после столкновения, а из второго – выделившееся при ударе тепло
, ,
где – угол между векторами импульсов тел до их столкновения.
При прямом центральном ударе скорость тел после столкновения , а выделившееся при ударе тепло
,
где и – проекции скоростей тел и на направление их движения и имеют знак .
Частично упругое столкновение тел. Ограничимся случаем лобового столкновения тел. При этом виде удара тела не слипаются, но после столкновения у них имеется остаточная деформация (вмятины) и выделяется при ударе тепло . Законы сохранения импульса в проекциях на направление движения тел и энергии в этом случае будут иметь вид
,
где и – скорости тел до и после их столкновения.
Абсолютно упругое столкновение тел. При этом виде столкновения тела после столкновения восстанавливают свою форму и остаточная деформация у них отсутствует, поэтому выделившееся при ударе тепло
Рис.39
Система уравнений, описывающая удар (рис.39), будет иметь вид
, .
Эту систему уравнений можно свести к линейной. Для этого перенесем члены с
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!