Математическая модель задачи принятия решений.

Основные понятия

Функция принятия решений есть постоянно решаемая в процессе управления задача. Трактовка принятия решения как задачи позволяет более четко сформулировать ее содержание, определить технологию и методы ее решения.

Задача принятия решений направлена, на определение наилучшего (оптимального) способа действий для достижения поставленных целей. Под целью понимается идеальное представление желаемого состояния или результата деятельности. Если фактическое состояние не соответствует желаемому, то имеет место проблема. Выработка плана действий по устранению проблемы составляет сущность задачи принятия решений.

Проблемы могут возникать в следующих случаях:

· функционирование системы в данный момент не обеспечивает достижение поставленных целей;

· функционирование системы в будущем не обеспечит достижение поставленных целей;

· необходимо изменение целей деятельности.

Проблема всегда связана с определенными условиями, которые обобщенно называют ситуацией. Совокупность проблемы и ситуа­ции образует проблемную ситуацию. Выявление и описание проб­лемной ситуации дает исходную информацию для постановки задачи принятия решений.

Субъектом всякого решения является лицо, принимающее решение (ЛПР). Понятие ЛПР является собирательным, Это может быть одно лицо — индивидуальное ЛПР или группа лиц, вырабатывающих коллективное решение,— групповое ЛПР. Для помощи ЛПР в сборе и анализе информации и формировании решений привлекаются эксперты — специалисты по решаемой проб­леме. Понятие эксперта в теории принятия решений трактуется в широком смысле и включает сотрудников аппарата управления, подготавливающих решение, ученых и практиков специалистов.

Принятие решений происходит во времени, поэтому вводится понятие процесса принятия решений. Этот процесс состоит из последовательности этапов и процедур и направлен на устранение проблемной ситуации.

В процессе принятия решений формируются альтернативные (взаимоисключающие) варианты решений и оценивается их предпоч­тительность. Предпочтение — это интегральная оценка качества решений, основанная на объективном анализе (знании, опыте, проведении расчетов и экспериментов) и субъективном понимании ценности, эффективности решений.

Для осуществления выбора наилучшего решения индивидуальное ЛПР определяет критерий выбора. Групповые ЛПР производят выбор на основе принципа согласования.

Конечным результатом задачи принятия решений является решение, которое представляет собой предписание к действию. С содержательной точки зрения решением может быть способ действия, план работы, вариант проекта и т. п. Решение является одним из видов мыслительной деятельности и проявлением воли человека и имеет свои характерные признаки. К ним относятся:

· наличие выбора из множества возможных решений;

· выбор ориентирован на сознательное достижение целей;

· выбор основан на сформировавшейся установке к действию.

Первый признак определяет необходимость существования альтернативных решений. Если нет альтернатив, то нет выбора и, следовательно, нет и решения, поскольку отпадает необходимость в мыслительно-волевом акте. Важной особенностью решения является целенаправленность и сознательность выбора. Бесцельный выбор, импульсивное действие не рассматриваются как решение. Последний признак подчеркивает необходимость осуществления волевого акта при выборе решения. Решение должно приводить к действию, поэтому человек, принимающий решение, формирует его через борьбу мотивов и выработку установки — состояния готовности к действию.

Решение называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничениям: ресурсным, правовым, морально-этическим. Решение называется оптимальным (наилучшим), если оно обеспечивает экстремум (максимум или минимум) критерия выбора при индивиду­альном ЛПР или удовлетворяет принципу согласования при групповом ЛПР.

Обобщенной характеристикой решения является его эффектив­ность. Эта характеристика включает эффект решения, определяю­щий степень достижения целей, отнесенный к затратам на их достижение. Решение тем эффективнее, чем больше степень достижения целей и меньше затраты на их реализацию.

Содержание задачи

В самой общей форме любая задача может быть представлена в виде «дано...», «требуется определить...». Руководствуясь этой формой, опишем содержание задачи принятия решений отдельно для индивидуального и группового ЛПР.

Для индивидуального ЛПР задача принятия решений записыва­ется в виде

<So, T, Q|S, A, В, Y, f, К, Y*>, (1.3)

где слева от вертикальной черты расположены символы, описывающие известные, а справа неизвестные элементы задачи: So — проблемная ситуация; Т — время для принятия решения; Q — потребные для принятия решения ресурсы; S =(S₁,..., S_n) — множество альтернативных ситуаций, доопределяющих проблемную ситуацию So; A=(A₁,..., A_k) —множество целей, преследуемых при принятии решения; В=(В₁,..., B_l)— множество ограничений;Y=(Y₁,...,Y_m) — множество альтернативных вариантов решения; f — функция предпочтения ЛПР; К— критерий выбора наилучшего решения; Y* — оптимальное решение.

В ряде случаев время и ресурсы на принятие решения могут быть неизвестны и подлежат определению самим ЛПР. Тогда необходимо располагать символы Т и Q в формуле (1.3) справа от вертикальной черты.

Рассмотрим более подробно элементы задачи принятия решений. Проблемная ситуация So описывается содержательно и, если это возможно, совокупностью количественных характеристик. Слово «ситуация» означает, что должны быть описаны условия, связанные с проблемой, причины ее возникновения и развития. Описание проблемной ситуации должно заканчиваться краткой содержа­тельной формулировкой проблемы, которую необходимо решить.

В зависимости от характера задачи время на принятие решения Т может составлять секунды или часы, что характерно для опера­тивных задач, месяцы или годы — для долгосрочных задач. Располагаемое время существенно влияет на возможности получения полной и достоверной информации о проблемной ситуации и всесто­роннего обоснования последствий решений.

В качестве ресурсов Q для нахождения оптимального решения (но не его реализации) могут использоваться: знания и опыт ЛПР и экспертов, научно-технический потенциал исследовательских инсти­тутов, автоматизированные системы информационного обеспечения и управления и т. п.

В условиях неопределенности проблемная ситуация определена не полностью. Неопределенность может быть обусловлена различными факторами, например неизвестностью спроса на продукцию, неясностью в возможностях использования научно-технических достижений, климатическими факторами и другими причинами. В этих условиях для доопределения проблемной ситуации S₀ необхо­димо сформулировать гипотетические ситуации (гипотезы, версии) S_j (j = 1, n), образующие конечное множество S =(S₁,..., S_n). Каж­дая ситуация S_j должна быть альтернативной всем остальным, т. е. все ситуации должны быть взаимоисключающими и, следовательно, независимыми. Совокупность ситуаций должна образовывать пол­ную группу, т. е. охватывать все возможные ситуации, доопределя­ющие проблемную ситуацию S₀. Каждая ситуация описывается содержательно с указанием набора количественных характеристик, среди которых важное значение имеет характеристика достоверности ситуации — вероятность ситуации р_j. Для полной группы незави­симых ситуаций сумма вероятностей равна единице.

где n — количество ситуаций, составляющих полную группу.

Доопределение проблемной ситуации путем формирования полной группы альтернативных ситуаций уменьшает исходную не­определенность задачи, поскольку сформирован содержательный перечень возможных ситуаций и неопределенность описывается только вероятностями их свершения. В случаях когда неопреде­ленность в проблемной ситуации отсутствует, отпадает необходи­мость формирования множества ситуаций (гипотез, версий). Случай полной определенности проблемной ситуации можно рассматривать как частный, вытекающий из случая неопределенности. Действи­тельно, при полной определенности можно считать, что имеет место одна альтернативная ситуация с вероятностью единица, а другие ситуации имеют вероятности появления, равные нулю.

Для четкого определения желаемого состояния по устранению проблемной ситуации необходимо сформулировать множество целей A=(A_i,..., А_k). Реальные задачи, как правило, многоцелевые и только в отдельных частных случаях может формулироваться единственная цель. Описание целей осуществляется содержательно и набором количественных характеристик. Наиболее важными характеристиками целей являются критерии достижения целей, показатели степени достижения целей и приоритеты —показатели важности целей.

Принятие решений всегда осуществляется в условиях различных ограничений: финансовых, материальных, правовых и т. п. Поэтому необходимо четко сформулировать множество ограничений В = (B₁,..., В_l), которые должны учитываться при принятии решения в конкретной проблемной ситуации.

Для достижения множества целей формируется множество альтернативных вариантов решений Y=(Y_1,..., Y_m), из которых должно быть выбрано единственное оптимальное или приемлемое решение Y*. В множество возможных решений включается и реше­ние о бездействии, при котором сохраняется проблемная ситуация. Решения описываются содержательно и формально — набором характеристик, в число которых обязательно включаются ресурсные характеристики, необходимые для реализации решений.

Функция предпочтения f(A, S, Y) используется для описания оценки решений по достижению целей в условиях возможных ситуаций. Функция предпочтения может описывать абсолютную или относительную оценку решений. Абсолютная оценка решений может быть произведена только в частных и весьма редких случаях. Поэтому в подавляющем числе реальных задач удается осуществить только сравнительную оценку решений. Эта оценка может носить качественный характер, тогда все альтернативные варианты реше­ний упорядочиваются по предпочтению, или количественный характер, тогда можно сравнивать, на сколько или во сколько раз одно решение лучше другого.

Выбор наилучшего решения Y* производится по критерию выбора К, формулировку которого осуществляет ЛПР.

Суммируя изложенное, задачу принятия решения индивиду­альным ЛПР можно кратко сформулировать следующим образом. В условиях проблемной ситуации S₀, располагаемого времени Т и ресурсов Q необходимо доопределить ситуацию S₀ множеством альтернативных ситуаций S, сформулировать множества целей А, ограничений В, альтернативных решений Y, произвести оценку предпочтений решений и найти оптимальное решение Y* из мно­жества Y, руководствуясь сформулированным критерием выбора К.

Для группового ЛПР задача принятия решения записывается в виде

 

< S₀, T, Q | S, A, B, Y, F(f), L, Y* >,

где So, Т, Q, S, А, В, Y, Y* — те же самые символы, что и в задаче для индивидуального ЛПР; F(f) — функция группового предпочте­ния, зависящая от вектора индивидуальных предпочтений членов группы f=(f₁,..., f_d), здесь d— количество членов в группе. Символ L в (1.4) означает принцип согласования индивидуальных предпочтений для формирования группового предпочтения. Выбор того или иного принципа определяет понятие наилучшего согласова­ния. Широко известным принципом согласования индивидуальных предпочтений, образующим групповое предпочтение, является, например, принцип большинства голосов. Существуют и другие принципы согласования.

Таким образом, задача принятия решений групповым ЛПР формулируется следующим образом. В условиях проблемной ситуа­ции So, располагаемого времени Т и ресурсов Q необходимо доопределить ситуацию. So множеством альтернативных ситуаций S сформулировать множество целей А, ограничений В, альтернатив­ных вариантов решений Y, произвести индивидуальную оценку предпочтений решений, построить групповую функцию предпочте­ния F(f) на основе выбранного принципа согласования L и найти оптимальное решение Y*, удовлетворяющее групповому предпочтению.

Содержание задачи принятия решений позволяет сформулиро­вать ряд утверждений, характеризующих особенности управленче­ских решений.

Во-первых, неизвестные элементы задачи: ситуации, цели, ограничения, решения, предпочтения — имеют прежде всего со­держательный характер и только частично определяются количе­ственными характеристиками. Количество неизвестных элементов задачи существенно больше, чем известных.

Во-вторых, определение неизвестных элементов задачи и в конечном итоге нахождение наилучшего решения не могут быть полностью формализованы, поскольку не существует методов и алгоритмов, позволяющих, например, сформулировать цели и варианты решения.

В-третьих, элементы задачи описываются характеристиками, часть из которых может быть измерена объективно, а для другой части возможно только субъективное измерение (например, приоритеты целей, предпочтения решений и т. п.).

В-четвертых, в ряде случаев приходится решать задачу принятия решений в условиях неопределенности, обусловленной неполным описанием проблемной ситуации и невозможность достаточно точной оценки ожидаемых последствий. В этих случаях на ряду с логическим мышлением важное значение имеет интуиция ЛПР.

В-пятых, принимаемые решения могут непосредственно затрагивать интересы ЛПР и экспертов. Поэтому мотивы их поведения влияют на выбор решения.

Перечисленные особенности подчеркивают отличие задачи управленческого решения от математической задачи нахождения оптимального решения, которая обычно формулируется как задача выбора наилучшего решения из множества заданных решений.

 

При изучении проблем построения целенаправленных систем всегда приходится учитывать цели, желания и нужды тех, кто управляет такими системами или сам подвергается их воздейст­вию. Именно поэтому исследование полезности представляет собой основу теории и практики исследований операций.

В данной главе рассмотрены некоторые теоретические вопросы, относящиеся к структурам полезности, и заложены теоретические основы построения процедур для определения предпочтений в количественной форме.

Термин «полезность» имеет два разных значения. Первое (более важное) — это качественная, или сравни­тельная, оценка, характеризуемая такими утверждениями, как: «Я ценю это больше, чем то» или «Я предпочитаю х, а не у». Второе значение этого термина — количественная оценка, когда мы в виде числа выражаем наше предпочтение, пытаясь отразить его сравнительную природу. Вообще говоря, представление полезно­сти в виде некоторого числа является удобным количественным •выражением исходного качественного отношения предпочтения. Учитывая такую двойственность, мы будем использовать термин «предпочтение» для отображения качественной характеристики объекта, а термин «полезность»— для количественного представле­ния предпочтений.

Основы современной теории полезности были заложены в во­семнадцатом столетии. Именно тогда несколько математиков, заинтересовавшись теорией вероятностей и ее применением к слу­чайным играм и страхованию, выдвинули принцип (максиму), в соответствии с которым благоразумный человек, попав в крити­ческую ситуацию, в которой возникла угроза его благосостоянию, должен вести себя так, чтобы максимизировать размер ожидаемого

богатства или денежной прибыли. Вместо максимизации ожидаемой денежной прибыли, Крамер и Бернулли [1738] предложили максимизировать ожидаемую величину полезности. Чтобы можно было вычислить ожидаемую величину, они предположили, что для многих людей полезность богатства растет с убывающей скоростью по мере роста богатства. На рис. 1 хорошо проиллюстрирован этот так называемый закон убывающей предельной полезности: когда богатство возросло, то добавление еще одной единицы богатства приводит к меньшему возрастанию полезности, чем в начале роста благосостояния. Например, утверждалось, что некоторая персона, располагающая очень скромными средствами, может благоразумно предпочесть гарантированный подарок в де­вять тысяч дукатов обычной азартной игре в «орлянку», при которой выплачивается либо 20 тысяч дукатов, либо ничего.

 

х х+δ у у+δ

Величина богатства

 

Современная теория предпочтений исходит только из двух гипотез. Во-первых предполагается, что рассматриваемое множество вариантов решения, стратегий или способов решений не является пустым.

Во-вторых, предполагается бинарность предпочтений, что находит выражение во введении отношения предпочтение или безразличие на множестве альт ернатив.

 

2. Предпочтение и полезность

Основные положения

Под системой предпочтения ЛПР понимается совокупность его представлений о преимуществах и недостатках сравниваемых решений.

Решающее правило r (метод принятия решения) отражает информированность ЛПР о возможных исходах выбранных решений, а также предпочтительность тех или иных исходов. Решающее правило может быть заданно в виде аналитического выражения, алгоритма или словесной формулировки.

Фундаментальным понятием теории предпочтений является бинарное отношение, поэтому необходимо изложить некоторые положения теории бинарных отношений.

Бинарное отношения R на непустом множестве X есть подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из X; множество всех упорядоченных пар задается прямым произведением . Запись xRy (читается: x находится в отношении R к y) означает, что (x,y) принадлежит R; аналогично не xRy (записывается как ) означает, что (x,y) не принадлежит R, или что x не находится в отношении R к y.

Ниже указаны восемь возможных свойств бинарных отношений, разделенных на четыре группы. Во всех определениях предполагается, что х, у и z являются элементами множества X. Бинарное отношение R на множестве Х является:

1) рефлексивным, если xRx длякаждого ; нерефлексивным, если для каждого ;

2) симметричным, если из xRy следует yRx; асимметричным, если из xRy следует ;

3) транзитивным, если из xRy и yRz следует xRz; отрицательно транзитивным, если из и следует ;

4) связным, если xRy или yRx; слабосвязным, если из следует xRy или yRx.

Пусть X — множество всех живых людей. Тогда отношение «выше, чем» является нерефлексивным, асимметричным, транзи­тивным и отрицательно транзитивным; отношение «ему (ей) столь­ко же лет, как и» рефлексивно, транзитивно, отрицательно транзитивно и связно; отношение «является сестрой» (по крайней мере один из родителей общий) симметрично (но почему не транзитив­но?); отношение «знаю имя», используемое при исследованиях пациентов с потерей памяти, не удовлетворяет ни одному из пере­численных свойств.

 

Предпочтение и безразличие

В теории предпочтений используются два основных бинарных отношения на множестве X. Во-первых, отношение нестрогого предпочтения >; запись х > у читается следующим образом: «х либо предпочтительнее, чем у, либо безразличен к у». Чаще пользуются формулировкой: «г/ не предпочтительнее, чем х». Во-вторых, применяется отношение предпочтения ; запись х у читается так: «х предпочтительнее, чем у». Отношение нестрогого предпочтения чаще встречается в литературе, но в последнее время некоторые авторы стали пользоваться последним определением.

Когда в качестве основного бинарного отношения берется отношение нестрогого предпочтения (>;), то отношения предпоч­тения () и безразличия (~) определяются через нестрогое пред­почтение >~ следующим образом:

х у тогда и только тогда, когда х ~ у, и неверно, что у ~ х;
х~ у тогда и только тогда, когда х ~ у и у ~ х. (1)

Если же в качестве основного бинарного отношения берется , то отношение безразличия и отношение нестрогого предпочтения определяются на основе как

х~ у тогда и только тогда, когда неверно х у и неверно у х;
х ~ у тогда и только тогда, когда х у или неверно х у
и неверно у х.

Транзитивность

Отношение предпочтения на X транзитивно, если из того, что х предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, сле­дует, что х предпочтительнее, чем z. В целом это свойство кажется разумным, поэтому будем предполагать, что оно выполняется в большинстве дальнейших рассуждений. Транзитивность нару­шается, если (х > у, у > z, х~ z) или (х у, у z, z х) для некоторых х, у и z из X.

Несмотря на очевидную разумность предположения о транзи­тивности предпочтений, имеется достаточно примеров и наблю­дений, из которых видно, что здравомыслящие люди могут иметь нетранзитивные предпочтения в некоторых ситуациях (см. [10, 56, 59]). Альтернативы, используемые, чтобы проиллюстрировать этот факт, обычно включают несколько критериев или характер­ных признаков, как в следующем примере, когда молодому уче­ному предлагается выбрать место академической работы:

(а) х: ассистента в очень известном университете с окладом 15 тыс. долл.;

(б) у: доцента в университете штата N с окладом 18 тыс. долл.;
(с) z: профессора в малоизвестном колледже с окладом 21 тыс. долл.

Ученый предпочитает х больше, чем у, рассудив, что престиж из­вестного университета стоит 3 тыс. долл.; исходя из аналогичных соображений, он предпочитает у больше, чем z, но, сравнивая х и z, он чувствует, что занимаемый пост и величина оклада переве­шивают престижность, поэтому он предпочитает z по сравнению с х. В описанной ситуации его предпочтения образуют цикл х y, y z, z х.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует проблему, воз­никающую в теории выбора, а именно то, что бинарное отношение не дает путеводной нити для выхода из цикла, не позволяет сде­лать выбор между х, у и z, когда каждая альтернатива менее пред­почтительна, чем некоторая другая. Следовательно, здесь нет самой предпочтительной альтернативы. Таким образом, теория выбора, которая сможет учесть и разрешить циклические пред­почтения, должна быть «богаче» и «глубже» по сравнению с тео­ретическими построениями, обсуждаемыми в данной главе (см. [54, 57]).

Отношение безразличия (~) на X транзитивно, если из того, что х безразличен по отношению к у, а у безразличен к z, следует, что х безразличен по отношению к z. Отношение безразличия не транзитивно, если существуют х, у и z, для которых х ~ y, у ~ z и х z. Хотя во многих примерах нетранзитивных безраз­личий используется несколько критериев или характерных признаков, можно привести и простейшие «одномерные» примеры, демонстрирующие тот же факт. Для этого можно рассмотреть си­туацию с некоторым пороговым предпочтением, которое остается незамеченным благодаря несущественным или малым различиям в предпочтениях. В работе [38] это рассмотрено на примере чашки кофе, в которую добавляют один за другим маленькие кусочки сахара. Можно ожидать безразличного отношения к х и (х + 1) кусочкам сахара для х, скажем в пределах от 0 до 5000, но трудно ожидать одинакового отношения к двум чашкам кофе, в одной из которых нет сахара, а в другой х = 5000.

Поскольку отноше­ние ~ транзитивно, оно является отношением эквивалентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения (разбиения) множества X на классы эквивалентности, или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества из X: если А и В — два различных класса и х лежит в А, & у в В, то х~ у тогда и только тогда, когда А =В\ если же х у, то х' у' для любого х' из А и каждого у' из В. На рис. 2 изображены классы безразличия для случая двух продуктов или двух характерных признаков. Классы безразличия представляют собой кривые, на каждой из которых любые две точки находятся в отношении без­различия, а предпочтение возрастает по мере удаления от начала координат. Поскольку кривые имеют отрицательный наклон, то с уменьшением х₁ должно увеличиваться х_г, чтобы сохранялось отношение безразличия вдоль кривой. Эти кривые называют так­же кривыми обмена или траекториями безразличия. В случае большой размерности говорят уже о поверхностях безразличия или о поверхностях обмена. Экономисты используют термин «кар­та безразличия», понимая под этим набор траекторий безразличия. В экономических исследованиях часто предполагается, что тра­ектории выпуклы в сторону начала координат, как, например, кривые, расположенные вблизи начала координат на рис. 2.

Полезность.

Пусть и — вещественная функция, определенная на X. Функция и называется функцией полезности для отношения предпочтения на X, если и(х) > и(у) для любых x и y, таких, что х y; и называется совершенной функцией полезности для отношения на X, если для всех х и у из Х справедливо неравенство и(х) > и(у) тогда и только тогда, когда х у. Пусть отношение на Х может существовать, если только отношение является слабым упорядочением, и пусть для этого отношения определена совершенная функция полезности u; тогда , если и только и(х) = и(у). Отсюда следует, что классы безразличия в Х совпадают с подмножествами альтернатив, имеющих равную полезность. В этом случае классы безразличия называют также контурами равной полезности.

Пусть и — совершенная функция полезности для отношения на X. Некоторая функция v также является совершенной функцией полезности для отношения на X, если и только если для любых x и у из Х справедливо неравенство v (x) :> v(у} тогда и только тогда, когда и (x) > и (y). Если и , то функции и и v будут функциями полезности для отношения на X. Тот факт, что в одном случае полезность у равна 99, а в другом только 1, не имеет принципиального значения.

Теория принятия решений использует различные процедуры, позволяющие формализовать предпочтение, т.е. выразить их в единой количественной мере. Основой для таких процедур является теория полезности, разработанная Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном [33]. Ее математическая основа – система аксиом, в которых утверждается, что существует некоторая мера ценности, позволяющая упорядочить результаты решения. Эта мера называется функция полезности решений или полезностью.

Системы аксиом, позволяющие доказать существование определенной функции полезности (аддитивной, мультилинейной и др.) описаны в [34-37].

Аксиоматические методы предполагают принятие ряда аксиом о характере предпочтений ЛПР и основаны на доказательстве существования скалярной положительно-определенной функции полезности на множестве альтернатив. Т.е. функция полезности рассматривается в качестве критерия, к которому сводится векторный критерий.

Во всех рассуждениях данного раздела предполагается, что бинарное отношение предпочтения определено на Р — множестве всех простых распределений вероятностей p, q,..., заданных на непустом множестве X. Элементами Х могут быть чистые стратегии или альтернативы, либо же они могут представлять собой исходы, или последствия, некоторых решений, принимаемых в ситуациях, содержащих элемент риска; вероятности таких исходов описываются некоторым распределением из Р.

Простым распределением вероятностей р называется вещественная функция Р, которая принимает положительные значения на большинстве элементов х из конечного множества X, а сумма всех значений р(х) равна единице. Мы не будем рассматривать непростые распределения.В зависимости от контекста распределения из Р часто называют ставками, играми, лотереями, альтернативами риска, смешанными стратегиями и рандомизированными стратегиями. Для любых распределений р и q из Р выражение называется прямой линейной комбинацией распределений р и q; здесь a — действительное число, заключенное между 0 и 1. Таким образом, если , то для любого x из X. Если р и q принадлежат Р и , то также принадлежит Р.

Предположим, что элементами Х являются некоторые суммы денег и пусть р (0 долл.)=0,3; р (10 долл.)=0,2; р (20 долл.)=0,5; q (7 долл .) =0,7; q (10 долл.) = 0,3и . Тогда ; r (0долл.) = 0,15; r (7долл.) = 0,35; r (10 долл.)=0,25 и r (20 долл.)=0,25.

Линейная функция полезности

В соответствии с приведенными выше определениями вещественная функция и, заданная на множестве Р, является функцией полезности для отношения на Р, если и(р) > и(q) для всех р q, и u — совершенная функция полезности для отношения на Р, если для всех р и q из Р неравенство и(р) > и(q) справедливо тогда и только тогда, когда р q. В случае когда множество X содержит более одного элемента, множество Р будет неисчислимо, поэтому замечания из разд. 2.3 для неисчислимых множеств справедливы для функции и на множество Р.

В рассматриваемом случае наличие определенных структурных свойств у множества Р приводит к тому, что функция и обладает свойством линейности, которое определяется следующим образом:

(2.1)

для всех a, лежащих между 0 и 1, и для всех р и q, принадлежащих Р. Функция полезности P, определенная для отношения на Р, называется линейной функцией полезности, если для нее выполняется равенство (2.1). Аналогично если и — совершенная функция полезности, которая удовлетворяет равенству (2.1), то она называется совершенной линейной функцией полезности.

Сколь важным является свойство линейности, становится очевидным из дальнейших рассуждений. На основе функции и, заданной на Р, введем в рассмотрение дополнительную (вспомогательную) функцию v на X, определяемую следующим образом:

, когда . (2.2)

Определим отношение так, что х y тогда и только тогда, когда р q при p(х) = q(у) =1; в этом случае v будет функцией полезности для отношения на Х при условии, что и является функцией полезности для отношения на Р. Пусть —различные элементы множества Х и ; применив несколько раз равенство (2.1) и воспользовавшись (2.2), получим

. (2.3)

Согласно этому выражению, полезность р равна математическому ожиданию дополнительной функции v с распределением вероятностей р, заданным на X. Если рассматривать v(х) как полезность исхода, то выражение (2.3) означает, что полезность некоторой альтернативы (с элементом риска) равна ожидаемой полезности для исходов, которые могут иметь место при использовании этой альтернативы.