Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-22 | 1802 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример 3. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
F = 11 + 5 + 2 + 16 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3–20 x 2 x 3
к каноническому виду, и написать этот канонический вид:
Р е ш е н и е. Матрица квадратичной формы имеет вид A = .
Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:
| A – λE | = = (11− λ) (5− λ) (2− λ) + 2⋅8⋅(−10) + 2⋅8⋅(−10) − 2⋅(5− λ)⋅2−(11− λ)·
⋅(−10)⋅(−10)−8⋅8⋅(2− λ) = − λ 3 + λ 2 (2+5+11) − λ (10+22+55) +110 −160 – 160 – 20 + 4 λ − 1100 + 100 λ –
–128 + 64 λ = − λ 3 +18 λ 2 + 81 λ −1458 = − λ (λ 2 − 81) + 18 (λ 2 − 81) = (λ − 9) (λ + 9) (− λ + 18) = 0.
Отсюда находим собственные числа: λ 1 = 9, λ 2 = −9, λ 3 = 18.
Далее находим собственные векторы:
Собственный вектор для собственного числа λ 1 = 9 найдем из системы =>
~ ~ ~ ~
ð
Решая данную систему, получим x 1 = x 3, x 2 = – x 3.
Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .
Соответствующий ортонормированный собственный вектор:
= => e 1 = .
Собственный вектор для собственного числа λ 2 = –9 найдем из системы
~ ~ ~
ð Решая данную систему, получим x 1 = – x 3, x 2 = x 3.
Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .
Соответствующий ортонормированный собственный вектор:
= => e 2 = .
Собственный вектор для собственного числа λ 3 = 18 найдем из системы
~ ~ ~ ~
~ =>
Решая данную систему, получим x 1 = –2 x 3, x 2 = –2 x 3.
Фундаментальная системарешений состоит из одного вектора .
Соответствующий ортонормированный собственный вектор:
= 3 => e 3 = .
Т.о., матрица S = , S Т = . D = S Т AS = .
В базисе B = (e 1, e 2, e 3) заданная квадратичная форма х А х имеет вид 9 – 9 + 18 ,
|
а соответствующее преобразование координат:
2.5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Уравнение второго порядка вида x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + 2 y + = 0 определяет на плоскости кривую. Группа членов B = x 2 + 2 xy + y 2называется квадратичной формой, L = 2 x + 2 y – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица B = называется матрицей квадратичной формы. Здесь
= . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда B = , где λ 1 и λ 2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид:
λ 1 + λ 2 .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ 1 + λ 2 = a, причем:
а) если λ 1 > 0, λ 2 > 0 – эллипс, в частности, при λ 1 = λ 2 это окружность;
б) если λ 1 > 0, λ 2 < 0 (λ 1 < 0, λ 2 > 0) имеем гиперболу;
в) если λ 1 = 0 либо λ 2 = 0, то кривая является параболой и после поворота осей координат
имеет вид λ 1 = ax 1 + by 1 + c (здесь λ 2 = 0). Дополняя до полного квадрата, будем
иметь: λ 1 = ax 1 + by 2.
Начало формы
Конец формы
Пример 1. Дано уравнение кривой 3 x 2 + 10 xy + 3 y 2 – 2 x – 14 y – 13 = 0
в системе координат (0, i, j), где i = {1, 0}, j = {0, 1}.
1). Определить тип кривой.
2). Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3). Найти соответствующие преобразования координат.
Р е ш е н и е. Приводим квадратичную форму B = 3 x 2 + 10 xy + 3 y 2к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы B = . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: .Характеристическое уравнение = λ 2 − 6 λ −16 = 0 имеет корни: λ 1 = –2, λ 2 = 8.Вид квадратичнойформы: –2 + 8 .Т.о., исходное уравнение определяет гиперболу.
|
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать8 – 2 ,однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
λ 1 = –2: => x 1 + y 1 = 0.
Собственный вектор, отвечающий числу λ =–2при x 1=1: x 1= {1, –1}. В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор i 1 = ,где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственномучислу λ = 8,находим из системы => x 1 –y 1 = 0 => x 2= {1, 1}, j 1 =
Итак, имеем новый ортонормированный базис(i 1, j 1).
По формулам x = S y переходим к новому базису: = или
x = x 1 + y 1, y = – x 1 + y 1. (*)
Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем:
–2 + 8 + x 1– y 1= 13
Выделяем полные квадраты: –2 + 8 = 8.
х 2= x 1– , у 2= у 1– .
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: х 2= x 1– , у 2= у 1– .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x 2и y 2, то получим:
х 2= , у 2= .
В системе координат(0*, i 1, j 1)данное уравнение имеет вид:– + =1.
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x 2 = 0задается в старой системе координат уравнением x – y – 3 = 0,а ось y 2 = 0уравнением x + y – 1 = 0.Начало новой системы координат0 * (2, –1)является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x 2 = 0, y 2 = 0, заданными в старой системе координат уравнениями x – y – 3 = 0и x + y – 1= 0соответственно.
2. Построение в полученной системе координат графика функции.
Пример 2. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка
9 х 2 – 4 ху + 6 у 2 + 16 х – 8 у – 2 = 0,
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
Р е ш е н и е. Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна .
Ее собственные числа
(9 – λ) (6 – λ) – 4 = 0 => λ 2 – 15 λ + 50 = 0 => λ 1 = 5, λ 2 = 10;
собственные векторы:
λ 1 = 5: => е 1 = . λ 2 = 10: => е 2 = .
Выполняя преобразования
х = (х´ – 2 у´), у = (2 х´ + у´),
получаем
5 + 10 – у ´ – 2 = 0.
Т.к. λ 1и λ 2отличны от нуля, то по каждой из новых переименованных х´ и у´ можно выделить полный квадрат:
|
по х´ полный квадрат уже есть (преобразование сдвига делать не нужно);
по у´: 10 – у ´ = 10 – 8.
Заменой переменных = х ´, = у ´– , соответствующий сдвигу по оси Оу,получим
5 + 10 – 10 = 0 или + = 1.
Данное уравнение есть каноническое уравнение эллипса. Результирующее преобразование координат имеет вид
х = ( – 2( + )) = ( – 2 ) – , у = (2 + ( + )) х = (2 + ) + ,
а каноническая система координат(О´, е 1, е 2), где
О´ (– , ), е 1 = i + j, е 2 = – i + j.
Задания. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка определить ее тип и
найти каноническую систему координат:
1. 5 +6 x 1 x 2 – 3 = 36.
2. 4 x 1 x 2+3 = 16.
3. 3 +2 x 1 x 2+3 = 4.
4. 4 +4 x 1 x 2+ = 20.
5. 5 +12 x 1 x 2= 36.
6. – 6 x 1 x 2+ = 8.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!