Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-21 | 172 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть определена на множестве и в каждой точке существуют (первые) частные производные и . Первые частные производные представляют собой новые функции двух переменных. Частные производные от функций и называются частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) от функции .
Таким образом, имеем четыре вторых частных производных, которые обозначаются:
или
.
Частные производные второго порядка и называются смешанными частными производными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они обязательно равны.
Пример 22. Найти все частные производные второго порядка от функции .
Решение
Экстремум функции двух переменных
Локальный экстремум
Окрестностью точки называется круг, содержащий точку .
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство
.
Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.
Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим образом.
Если функция имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума , то
.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки , в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются стационарными.
Сформулируем достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки .
Положим .
Тогда:
1) если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причём при - локальный максимум, при - локальный минимум;
|
2) если , то в точке нет экстремума;
3) если , то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.
Пример 23. Функция полных издержек двух продуктовых фирм задана уравнением , где и - объёмы выпуска товаров и соответственно. Цены этих товаров на рынке равны 8 и 6. Определить максимально возможное значение прибыли.
Решение
Найдём значение прибыли от реализации товара и в объёмах и как разность между доходом от продажи и издержками .
.
Определим стационарные точки функции. Найдём частные производные:
, .
Решим систему:
Точка - стационарная точка функции.
Найдём частные производные второго порядка:
Учитывая что , а , определим: - точка максимума. Найдём максимальное значение прибыли .
Условный экстремум
Экстремум функции при условии, что и связаны уравнением , называется условным экстремумом. Уравнение называется уравнением связи.
Для решения задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.
Составим вспомогательную функцию
.
Функция называется функцией Лагранжа, а - множителем Лагранжа.
Точка условного экстремума является точкой локального экстремума функции Лагранжа, её координаты должны удовлетворять уравнениям
Пусть - любое решение этой системы и
.
Если , то функция имеет в точке условный максимум, если , то условный минимум.
Пример 24. Найти экстремум при условии .
Решение
Функция Лагранжа имеет вид .
Найдём частные производные
.
Решим систему
- «подозрительная» точка.
Наёдем частные производные
Вычислим определитель
.
В точке функция имеет условный экстремум
.
Метод наименьших квадратов
Пусть имеются данные наблюдений в точках , , , …, некоторой величины и получены соответствующие значения , , , …, .
Необходимо подобрать функцию определённого вида , чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величины от параметров (координат) точек измерения .
|
При обработке данных экономической статистики наиболее распространённым является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной .
Неизвестные параметры эмпирической функции и необходимо определить так, чтобы значения функции по возможности наименее всего отклонялись от измеренных значений.
Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений функции в точках , , , …, от измеренных значений , , , …, .
Для нахождения точки минимума функции найдём частные производные этой функции по переменным и и приравняем их к нулю.
Коэффициенты и определяются из системы так называемых нормальных уравнений.
Пример 25. В результате эксперимента для пяти значений аргумента получены пять значений величины .
-2 | |||||
0,5 | 1,5 |
Методом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между и в виде линейной функции .
Решение
Значение параметров и найдём из системы. Выполним необходимые вычисления:
Запишем систему:
Решим систему по формулам Крамера:
Значит , .
Функция имеет вид .
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!