История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-21 | 230 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция определена на отрезке , . Разобьём отрезок на произвольных частей точками . В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму
где - длина частичного отрезка.
Сумма вида называется интегральной суммойдля функции на . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения.
Если существует конечный предел интегральной суммы при , этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку . Обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке . Итак
.
Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральная функция, - переменная интегрирования.
К понятию определённого интеграла мы приходим, например, при рассмотрении задачи о нахождении объёма продукции некоторого производства.
Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени . Для нахождения объёма продукции , произведённый за промежуток времени , разобьём отрезок на промежутки . Тогда величину объёма продукции , произведённой за промежуток времени найдём по формуле
,
где , , .
.
Точное равенство мы получим, переходя к пределу при .
.
Учитывая определение определённого интеграла, получим , то есть если - производительность труда в момент времени , то - объём выпускаемой продукции за промежуток .
Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на этом отрезке.
Если непрерывна на и функция является некоторой её первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница
.
То есть определённый интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке.
|
Пример 9. Вычислить интеграл .
Решение
Так как одной из первообразных для функции является , то применяя формулу, получим
.
Основные свойства определённого интеграла
По определению .
По определению .
Каковы бы ни были числа , всегда имеет место равенство .
Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е. .
Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов
.
Пример 10. Вычислить интеграл .
Решение
.
Интеграл от неотрицательной функции на отрезке - неотрицательное число, то есть если на , то .
Если на выполняется неравенство , то такое же неравенство выполняется и для интегралов, т.е.
.
Пусть - наименьшее, а - наибольшее значения непрерывной функции на , тогда
.
Пример 11. Оценить определённый интеграл .
Решение
Функция убывает на промежутке , поэтому , . Значит , .
Если непрерывна на отрезке , то найдётся такое значение , что .
- среднее значение функции на отрезке .
При вычислении определённых интегралов применяют также метод замены переменной, который позволяет упростить интеграл. При этом в отличие от неопределённого интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы интегрирования новой переменной и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
Формула замены переменной в определённом интеграле имеет вид
.
Пример 12. Вычислить интегралы:
а) ; б) .
Решение
а)
.
б)
.
Формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид
.
Пример 13. Вычислить интеграл .
Решение
,
так как , .
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!