Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-21 | 172 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Введение
Одним из возможных способов анализа электромагнитных явлений в каком-либо устройстве является обращение к его математической модели в виде электрической цепи. Напряжение и ток каждого сосредоточенного элемента цепи в общем случае являются вещественными функциями лишь одной независимой переменной – относительного времени t. Цепи с сосредоточенными элементами (модели Кирхгофа) успешно отражают электромагнитные процессы в системах, размеры которых l 1, l 2, l 3 пренебрежимо малы в сравнении с наименьшей значимой длиной волны:
(l 1, l 2, l 3) << l min = v ф/ fmax. (1)
Здесь – фазовая скорость электромагнитной волны в безграничной среде с проницаемостями ea и ma вокруг исследуемой системы, а fmax – верхняя граница значимого частотного спектра воздействия. Как известно, математической основой анализа процессов в любой цепи с конечным числом сосредоточенных элементов является совокупность динамических характеристик всех элементов цепи и полная система её топологических уравнений, преобразуемая в систему обыкновенных дифференциальных уравнений состояния цепи. При этом выражения переменных состояния цепи находятся однозначно, если известны их начальные значения.
При теоретическом исследовании электромагнитных процессов в устройствах, для которых неравенства (1) не соблюдаются, применяют полевые модели (модели Максвелла), анализируемые методами теории электромагнитного поля (электродинамики).
Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения об электромагнитных свойствах исследуемых устройств можно получить и с помощью теории цепей, расширив соответствующим образом её элементную базу. Например, отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, для которых выполняются соотношения:
|
(l 1, l 2) << l min = v ф/ fmax
при l 3 > l max или l 3 @ l max,
(где , а fmin - низшая граница значимого частотного спектра воздействия) в теории электрических цепей удовлетворительно моделируют одномерным распределённым четырёхполюсным элементом – отрезком двухпроводной линии передачи (модель Кирхгофа-Томсона).
В дальнейшем ограничимся анализом процессов в цепях, содержащих отрезки только инвариантных во времени однородных линий. Последние служат моделями линий передач, у которых в продольном направлении неизменны и не зависят от времени конфигурация и значения электромагнитных параметров проводников и разделяющих их диэлектриков. В противном случае для моделирования используются отрезки неоднородных линий. На схемах электрических цепей отрезок однородной линии передачи изображают двумя параллельными отрезками прямых с обязательной фиксацией условно положительных направлений напряжения и тока его произвольного сечения (Рис. 1). Электрические цепи, содержащие хотя бы один распределённый элемент – отрезок линии – называют цепями с распределёнными элементами.
Комплексные характеристики полубесконечного отрезка однородной линии
Волны напряжения и тока
Перейдём к мгновенным значениям напряжения u (x¢, t) и тока i (x¢, t) в произвольном сечении отрезка с координатой x¢. Полагая в выражении (11) в соответствии, например, с формулами (3), получаем
.
Отсюда видно, что при фиксированном значении координаты x¢ напряжение u (x¢, t) этого сечения является гармонической функцией времени с частотой w и постоянной амплитудой . Если же зафиксировать момент времени t и рассматривать изменение напряжения вдоль полубесконечного отрезка, то получим осциллирующую знакопеременную функцию амплитуда которой убывает по экспоненте с ростом x¢, то есть по мере удаления от начала отрезка линии.
С течением времени распределение напряжения перемещается вдоль отрезка линии, образуя волну напряжения. Для определённости, за скорость распространения волны примем её так называемую фазовую скорость v ф, под которой понимают скорость перемещения её сечения в выбранной неподвижной системе координат, фаза колебания в котором остаётся неизменной. Отсюда видно, что с течением времени t значение фазы волны остаётся неизменным, если значение координаты её сечения x¢ соответствующим образом возрастает. Таким образом, волна напряжения перемещается (бежит) от начала отрезка линии. Из условия постоянства значения фазы бегущей волны или
|
следует, что волна напряжения перемещается вдоль отрезка линии с фазовой скоростью
Рис. 7 |
На Рис. 7 изображены нормированные на амплитуду Um волны напряжения для двух следующим друг за другом моментов времени t 1и t 2, причём 0 < t 2 – t 1 < T /2.
Аналогично можно рассмотреть изменения тока вдоль полубесконечного отрезка однородной линии и получить выражение
которое описывает волну тока, бегущую от начала отрезка с тем же значением фазовой скорости v ф и так же затухающую в направлении своего распространения.
Из выражений волн напряжения и тока следует, что значение коэффициента затухания , входящего в показатель экспоненты, характеризует убывание амплитуд волн при их распространении вдоль отрезка линии. Фазы напряжения и тока изменяются вдоль отрезка линии по линейному закону. Коэффициент фазы b определяет скорость этих изменений. Разность фаз напряжения и тока в любом сечении отрезка равен аргументу характеристического сопротивления линии
.
Коэффициент затухания a выражается в неперах или децибелах на единицу длины, а коэффициент фазы b – в радианах на единицу длины.
Убывание амплитуд волн напряжения и тока в направлении их перемещения обусловливается необратимыми преобразованиями энергии вдоль отрезка линии, а изменение их фаз – конечными значениями фазовых скоростей распространения этих волн.
Введение
Одним из возможных способов анализа электромагнитных явлений в каком-либо устройстве является обращение к его математической модели в виде электрической цепи. Напряжение и ток каждого сосредоточенного элемента цепи в общем случае являются вещественными функциями лишь одной независимой переменной – относительного времени t. Цепи с сосредоточенными элементами (модели Кирхгофа) успешно отражают электромагнитные процессы в системах, размеры которых l 1, l 2, l 3 пренебрежимо малы в сравнении с наименьшей значимой длиной волны:
|
(l 1, l 2, l 3) << l min = v ф/ fmax. (1)
Здесь – фазовая скорость электромагнитной волны в безграничной среде с проницаемостями ea и ma вокруг исследуемой системы, а fmax – верхняя граница значимого частотного спектра воздействия. Как известно, математической основой анализа процессов в любой цепи с конечным числом сосредоточенных элементов является совокупность динамических характеристик всех элементов цепи и полная система её топологических уравнений, преобразуемая в систему обыкновенных дифференциальных уравнений состояния цепи. При этом выражения переменных состояния цепи находятся однозначно, если известны их начальные значения.
При теоретическом исследовании электромагнитных процессов в устройствах, для которых неравенства (1) не соблюдаются, применяют полевые модели (модели Максвелла), анализируемые методами теории электромагнитного поля (электродинамики).
Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения об электромагнитных свойствах исследуемых устройств можно получить и с помощью теории цепей, расширив соответствующим образом её элементную базу. Например, отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, для которых выполняются соотношения:
(l 1, l 2) << l min = v ф/ fmax
при l 3 > l max или l 3 @ l max,
(где , а fmin - низшая граница значимого частотного спектра воздействия) в теории электрических цепей удовлетворительно моделируют одномерным распределённым четырёхполюсным элементом – отрезком двухпроводной линии передачи (модель Кирхгофа-Томсона).
В дальнейшем ограничимся анализом процессов в цепях, содержащих отрезки только инвариантных во времени однородных линий. Последние служат моделями линий передач, у которых в продольном направлении неизменны и не зависят от времени конфигурация и значения электромагнитных параметров проводников и разделяющих их диэлектриков. В противном случае для моделирования используются отрезки неоднородных линий. На схемах электрических цепей отрезок однородной линии передачи изображают двумя параллельными отрезками прямых с обязательной фиксацией условно положительных направлений напряжения и тока его произвольного сечения (Рис. 1). Электрические цепи, содержащие хотя бы один распределённый элемент – отрезок линии – называют цепями с распределёнными элементами.
|
Динамические погонные характеристики линии (телеграфные уравнения)
Рис. 1 |
Отрезок однородной линии, как и всякий сосредоточенный элемент электрической цепи, определяется своими динамическими характеристиками, под которыми здесь понимают соотношения, связывающие напряжение и ток любого сечения отрезка в любой момент времени.
Выберем поэтому сначала координатную ось x¢, направив её по положительному направлению потока мощности, и отметим на ней произвольно начало отсчёта координаты сечения отрезка линии (Рис. 1).
Столь же произвольно зададимся началом отсчёта относительного времени t. И, наконец, обозначим для краткости через u = u (x¢, t) и i = i (x¢, t) мгновенные значения напряжения и тока в сечении линии с координатой x¢ в момент времени t.
Безупречный вывод динамических характеристик однородной линии возможен лишь на основе теории Максвелла [*]. Поэтому здесь приведём их без вывода и определим однородную линию системой двух дуальных линейных уравнений в частных производных первого порядка:
(2)
Здесь R 0, L 0, G 0 и C 0 – независимые, так называемые первичные или погонные, то есть приходящиеся на единицу длины, параметры линии. Приведённая система однородных линейных уравнений, представляющая динамические погонные характеристики однородной линии, впервые была получена и исследована при теоретическом изучении электромагнитных явлений в линиях дальней телеграфной связи. Поэтому её традиционно называют системой телеграфных уравнений. Следует отметить, однако, что результаты анализа этих уравнений с помощью известной системы аналогий можно с успехом перенести и на другие виды цепей.
Умножая первое уравнение системы на i, второе – на u и складывая, имеем
Проинтегрируем последнее равенство по x¢ в пределах от x¢ 1 до x¢ 2:
Величина p (x¢, t) = u×i определяет мгновенную мощность как скорость переноса энергии в положительном направлении оси x¢ через сечение линии с координатой x¢ в момент времени t.
Последнее равенство имеет простой физический смысл: сумма скоростей необратимого преобразования энергии и изменения электрической и магнитной энергии участка линии (x¢ 1, x¢ 2) в момент времени t равна разности мгновенных значений мощности в начале и в конце рассматриваемого участка в тот же момент времени. Оно представляет собой частный случай известной в электродинамике теоремы Пойнтинга: поток мощности выражается здесь произведением напряжения на ток.
|
Основная задача анализа процессов в однородной линии или её отрезке заключается в том, чтобы путём решения системы (2) в области определения x¢ найти распределения напряжения и тока вдоль линии или её отрезка в любой момент времени t ³ 0. Задача, однако, состоит не в том, чтобы определить бесконечное множество различных выражений мгновенных значений напряжения u = u (x¢, t) и тока i = i (x¢, t), удовлетворяющих системе телеграфных уравнений, а в том, чтобы найти такие функции, которые описывают напряжение и ток отрезка конкретной линии – распределённого компонента заданной цепи. А для этого надо поставить ряд дополнительных ограничений, выражаемых начальными и граничными (краевыми) условиями.
Начальные условия описывают распределение напряжения и тока вдоль линии или её отрезка накануне коммутации (t = 0-) и играют в данном случае такую же роль, что и начальные условия в цепях с сосредоточенными элементами, с той лишь разницей, что u (x¢, t) и i (x¢, t) зависят, вообще говоря, от некоторых функций u (x¢, 0-) и i (x¢, 0-), тогда как u (t) и i (t) любого элемента цепи с сосредоточенными элементами зависят от определённого числа начальных значений токов катушек, напряжений конденсаторов и задающих напряжений и токов.
Иной характер имеют граничные (краевые) условия. Они устанавливают функциональную связь между напряжением и током либо их выражения или значения в начале и в конце отрезка линии в любой момент времени t ³ 0. Граничные условия тесно связаны с доказательством теоремы существования и единственности решения телеграфных уравнений.
В результате достаточно длительного воздействия источников постоянного или периодически изменяющегося напряжения или тока отрезок линии придёт к установившемуся режиму, в котором напряжение и ток его любого сечения либо неизменны во времени (стационарное состояние), либо изменяются периодически. Изменение граничных условий отрезка линии вызовет изменение установившихся распределений напряжения и тока. Однако переход к новому установившемуся режиму, характеризуемому функциями u пр(x¢, t) и i пр(x¢, t), произойдёт не сразу. В отрезке линии возникнут свободные колебания напряжения и тока, которые описываются функциями u св(x¢, t) и i св(x¢, t). Как и в теории цепей с сосредоточенными элементами, будем считать, что во время переходного процесса напряжение и ток любого сечения отрезка линии получается сложением установившихся и свободных колебаний
, .
Функции принуждённых составляющих u пр(x¢, t) и i пр(x¢, t) выберем так, чтобы они удовлетворяли системе телеграфных уравнений и заданным граничным условиям. Тогда вторые составляющие – функции u св(x ¢, t) и i св(x¢, t) – должны также удовлетворять телеграфным уравнениям и граничным условиям отрезка линии в цепи, “освобождённой” от активных элементов. Постоянные интегрирования могут быть вычислены из начальных условий после суммирования обеих составляющих напряжения и тока.
Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их аналитическое решение для произвольных граничных условий отсутствует.
В этой главе исследуются лишь установившиеся процессы в отрезках однородной линии. Поэтому в дальнейшем для упрощения записи индекс “пр” в обозначениях мгновенных, амплитудных и действующих значений напряжения и тока будет опущен.
Задача существенно облегчается при анализе гармонического процесса в отрезке линии, поскольку в этом случае известен закон изменения напряжения и тока во времени в произвольном сечении отрезка и остаётся лишь найти распределение их амплитуд и начальных фаз вдоль отрезка линии.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!