Табличный метод расчета параметров сетевого графика

Пример 5. Определить временные параметры сетевого графика на рисунке 14, пользуясь табличным методом.

Решение: все вычисления будем заносить в таблицу 3.

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 1, затем с номера 2 и т.д.

В первой графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Так, для работы (5,10) в графу 1 поставим число 2, т.к. на номер 5 оканчиваются 2 работы: (1,5) и (3,5).

Таблица 3 – Табличный метод расчета сетевого графика

КПР	Код Работы	Продолжительность работы	Ранние сроки	Поздние сроки	Резервы времени
	(i,j)	t(i,j)	tрн(i,j)	tро(i,j)	tпн(i,j)	tпо(i,j)	Rп	Rс
				5=3+4	6=7-3
	(1,2)
	(1,3)
	(1,5)
	(2,4)
	(2,6)
	(3,4)
	(3,5)
	(3,8)
	(3,9)
	(4,7)
	(5,10)
	(6,11)
	(7,9)
Продолжение таблицы 3
	(7,11)
	(8,9)
	(8,10)
	(8,11)
	(9,11)
	(10,11)

Далее заполняем графы 4 и 5. Для работ, имеющих цифру 0 в графе 1, в графу 4 также заносятся нули, а их значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4 (по формуле (2.4)). В нашем случае для работ (1,2), (1,3), (1,5) в графе 4 ставим 0, а в графе 5 - 0+5=5, 0+7=7, 0+4=4. Для заполнения следующих строк графы 4, т.е. строк начиная с номера 2, просматриваются заполненные строки графы 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в графу 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа одна - (1,2). Цифру 5 из графы 5 переносим в графу 4 для всех работ, начиная с номера 2, т.е. в две последующие строки с номерами (2,4) и (2,6). Для каждой из этих работ путем суммирования значений граф 3 и 4 сформируем значение графы 5: t_р.о.(2,4)=0+5=5, t_р.о.(2,6)=8+5=13. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.

Графы 6 и 7 заполняются “обратным ходом”, т.е. “снизу вверх”. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из графы 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в графу 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (т.к. t_р(i)= t_п(i)). В нашем случае t(11)=27. Затем для этих строчек находится содержание графы 6 как разности граф 7 и 3 по формуле (2.7). Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 10. Для определения графы 7 этих строк (работы (8,10) и (5,10)) просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 10. В графу 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в графу 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна - (10,11), поэтому заносим в строчки (8,10) и (5,10) графы 7 цифру 20. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строчки по графам 6 и 7.

Содержимое графы 8 равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5 (формула (2.8).

Содержимое графы 9 вычисляется по формуле (2.9):

R_с(3,9)= t_р.н(9,11)- t_р.о.(3,9)=19-18=1.

Учитывая, что резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем критический путь (1,3,4,7,11).

 

2.6 Сетевое планирование в условиях неопределенности

 

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно, и поэтому вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки - минимальная и максимальная. Минимальная (оптимистическая) оценка t_min(i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) t_max(i,j) -при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение t_ож(i,j) оценивается по формуле

t_ож(i,j)=(3 t_min(i,j)+2 t_max(i,j))/5 (2.10)

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии:

S²(i,j)=0,04(t_max(i,j)- t_min(i,j))² (2.11)

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики сетевой модели, однако они будут иметь иную природу, т.е. выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом - лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1) определить вероятность того, что продолжительность критического пути t_кр не превысит заданного директивного уровня Т;

2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р.

Первая задача решается на основе интеграла вероятности Лапласа F(Z) путем использования формулы:

p(t_кр<T)=0,5+0,5F(Z), где Z=(T-t_кр)/S_кр,(2.12)

 

где Z - нормированное отклонение случайной величины;

S_кр - среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути. Соответствие между Z и симметричным интервалом вероятности приведено в таблице 4.

 

 

Таблица 4 - Таблица стандартного

нормального распределения

 

Z	F(Z)	Z	F(Z)	Z	F(Z)
	0.0000	1.0	0.6827	2.0	0.9643
0.1	0.0797	1.1	0.7287	2.1	0.9722
0.2	0.1585	1.2	0.7699	2.2	0.9786
0.3	0.2358	1.3	0.8064	2.3	0.9836
0.4	0.3108	1.4	0.8385	2.4	0.9876
0.5	0.3829	1.5	0.8664	2.5	0.9907
0.6	0.4515	1.6	0.8904	2.6	0.9931
0.7	0.5161	1.7	0.9104	2.7	0.9949
0.8	0.5763	1.8	0.9281	2.8	0.9963
0.9	0.6319	1.9	0.9545	2.9	0.9973

 

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0.8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.

Для решения второй задачи используется формула

T=t_ож(L_кр)+Z*S_кр. (2.13)

 

Пример 6. Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) заданы в таблице 5. Требуется:

1) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;

2) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95%.

 

 

Таблица 5 – Сетевая модель

 

Работа	Продолжительность	Ожидаемая продолжит.	Дисперсия
(i,j)	tmin(i,j)	tmax(i,j)	tож(i,j)	S2(i,j)
(1,2)		7,5		0,25
(2,3)		6,5		0,25
(2,4)				1,00
(2,5)		5,5		0,25
(3,7)		3,5		0,25
(4,5)		7,5		0,25
(4,6)		5,5		0,25
(4,9)				1,00
(5,8)		4,5		0,25
(5,10)				1,00
(6,9)
(6,11)				1,00
(7,10)		3,5		0,25
(8,10)				1,00
(9,10)				1,00
(10,11)		10,5		0,25

 

Три первые графы таблицы содержат исходные данные, а две последние - результаты расчетов по формулам. Так, например, t_ож(1,2)=(3*5+2*7,5)/5=6, t_ож(2,3)=(3*4+2*6,5)/5=5, S²(1,2)=0,04(7,5-5)²=0,25, S²(2,3)=0,04(6,5- 4)²=0,25.

 

Используя любой из приведенных выше методов, можно найти все характеристики сетевой модели.

Критическим является путь (1,2,4,5,10,11), а его продолжительность

t_ож = 33 дня.

Дисперсия критического пути составляет:

S²(L_кр)=S²(1,2)+S²(2,4)+S²(4,5)+S²(5,10)+S²(10,11)= =0,25+1,00+0,25+1,00+0,25=2,75.

Для использования формулы (2.12) необходимо иметь среднее квадратичное отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т.е. S(L_кр)=1,658.

 

Тогда имеем:

p(t_кр<35)=0,5+0,5F((35-33)/1,66)=0,5+0,5F(1,2)=0,5+0,5*0,7699=0,90,

p(t_кр<30)=0,5+0,5F((30-33)/1,66)=0,5-0,5F(1,8)=0,5-0,5*0,9281=0,035.

Вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет примерно 90,4%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней - всего 3,5%.

Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего найдем значение аргумента Z, которое соответствует заданной вероятности 95%. В графе F(Z) наиболее близкое значение (0,9545*100%) соответствует Z=1,9.

Тогда по формуле (2.13) T=t_ож(L_кр)+Z*S_кр = 33+19*1,658=36 дн.

Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности 95% составляет всего 36 дней.