Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-21 | 464 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно, решение такого уравнения ищут в виде степенного ряда
Неопределенные коэффициенты находят подстановкой ряда в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности в обеих частях полученного равенства. Если удается найти все коэффициенты ряда, то полученный ряд определяет решение во всей своей
области сходимости.
В тех случаях, когда длу уравнения требуется решить задачу Коши при начальном условии решение можно искать с помощью ряда Тейлора:
где , а дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо значений и всех остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков.
756. Проинтегрировать уравнение
Δ Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
Подставляя у и у" в исходное уравнение, находим
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями х:
Приравнивая нулю все коэффициенты полученного ряда (чтобы уравнение обратилось в тождество), находим
Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты искомого разложения (Со и С1 остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных интегрирования);
Таким образом,
Полученные ряды сходятся на всей числовой оси и определяют два линейно независимых частных решения исходного уравнения. ▲
С помощью разложения в ряд по степеням х проинтегрировать следующие уравнения н определить область существования полученного решения:
|
757.
758.
ф В силу начального условия положить Со==0.
759. у"+ху'+у=0.
760. у"—ху'—2у=0.
761.
● В силу начальных условий положить Со=0, С1=1.
762. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение взяв шесть первых членов разложения, отличных от нуля.
Δ Из уравнения начальных условий находим Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем
Полагая х=0 и используя значения последовательно находим Искомое решение имеет вид
▲
763. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
. Δ Дифференцируя уравнение имеем
При х=0 получаем
у(0)=0, у'(0)=1,
Решение имеет вид
▲
764. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
765. Найти два первых (отличных от нуля) члена разложения.
766. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
767. Найти точное решение.
768. Найти пять первых членов разложения.
769. Найти пять первых членов разложения.
2. Уравнение Бесселя. Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, имеющее вид
(1)
называется уравнением Бесселя (к этому же виду сводится уравнение заменой ),
Решение уравнения (1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда, т. е. произведения некоторой степени х на степенной ряд:
(2)
Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени х в левой части уравнения, получим систему
ФОРМУЛА………………….
Считая, что из данной системы находим Пусть Тогда из второго уравнения системы находим а из уравнения придавая k значения 3, 5, 7,..., заключаем, что Дяя коэффициентов с четными номерами получаем выражения
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2), получим решение
где коэффициент остается произвольным.
При все коэффициенты ад аналогично определяются только в случае, когда не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении величину на — :
|
Полученные степенные ряды сходятся для всех значений х, что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения у1 (х) и y2(х) линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.
Решение у1(х), умноженное на постоянную называется функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка λ первого рода и обозначается символом Решение у2 обозначают
Следовательно, общее решение уравнения (1) при λ, не равном целому чгслу, имеет вид
где C1 и С2—произвольные постоянные величины.
В общепринятом выборе постоянной участвует гамма-функция , которая определяется несобственным интегралом (см. с. 35):
Можно показать, что при λ, равном половине нечетного числа, функция Бссселя выражается через элементарные функции, так как в этом случае гамма-функция, входящая в определение функции Бесселя
[произведение заменено, согласно свойству гамма-функции, на ], принимает следующие значения:
(здесь использовано значение интеграла Пуассона);
Функцию Бесселя (натуральном) можно записать так:
Для отрицательного и целого λ частное решение не выражается функцией Бесселя первого рода и его следует искать в форме
Подставляя это выражение в уравнение (1), мы определим коэффициенты . Функция умноженная на некоторую постоянную, называется функ-цией Бесселя п-го порядка второго рода.
770. Найти функцию Бесселя при
Δ Воспользовавшись равенством
при получим
▲
771. Решить уравнение
Δ Так как то общее решение уравнения имеет вид где
Точно так же получим Следовательно, общее решение
▲
772. Найти
773. Решить уравнение
774. Решить уравнение
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!