Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением п-го порядка назы­вается уравнение вида

F(х, у, у', у",..., у⁽ⁿ⁾)=0.

Решением такого уравнения служит всякая п раз дифференцируемая функция у=φ(х), которая обращает данное уравнение в тождество, т. е.

F[х, φ (х), φ '(х), φ "(x),…, φ ⁽ⁿ⁾(х)]≡0.

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям у=у₀, у'=у'₀, …, y^(n-1)=y₀ ^{(n-1 )} при х= x₀, где x₀, y₀, у'₀, …, у^(n-1)— заданные числа, которые называются на­чальными данными, или начальными условиями.

Функция у=φ(х, С ₁, С ₂,..., С _n) называется общим решением данного дифференциального уравнения п-го порядка, если при соответствующем выборе Произвольных постоянных С ₁, С ₂, …, С _n эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значе­ниях постоянных С ₁, С ₂, ..., С _n, называется частным решетцем этого урав­нения. Для выделения из множества решений дифференциального уравнения определенного частного решения иногда используют и так называемые крае­вые условия. Эти условия (число которых не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Очевидно, что краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.

2. Уравнения вида . Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно:

………………………………………………

где

.

Так как являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано и так:

.

 

643. Найти частное решение уравнения , удовлетво­ряющее начальным условиям у(0)=1, y'(0)=0.

Решение. Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:

,

,

или

.

Воспользуемся начальными условиями: 1=2+C₂; C₂=-1; 0=-1+C₁; С ₁ = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

Это же решение можно найти и следующим образом, используя сразу заданные начальные условия:

Решить уравнения:

644. .

645. .

646. .

647. .

648. .

3. Дифференциальные уравнения вида , не содержащие искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить, взяв зановую неизвестную функцию низшую из производных данного урав­нения, т. е. полагая . Тогда получим уравнение

.

Таким образом, порядок уравнения понижается на и единиц.

649. Найти общее решение уравнения ху"=у' lп(у'/х).

Решение. Полагая у'=z, преобразуем уравнение к виду

хz' =zln (z/х), или z' = (z/х)ln (z/х).

Это однородное уравнение первого порядка. Полагая z/х=1, откуда z=tх, z'=t'х+t, получим уравнение

, или

Интегрируя, находим

или ,

откуда ; возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению . Следовательно, ^/

650. Тело массы т падает по вертикали с некоторой высоты без начальной скорости. При падении тело испытывает сопро­тивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости тела. Найти закон движения тела.

Решение. Введем обозначения: пусть S —пройденный телом путь, V=ds/dt скорость, w=d²s/dt² — ускорение. На тело действуют силы: его вес Р=mg (по направлению движения) и сопротивление воздуха F=kV²=k(dS/dt)² (против на­правления движения).

На основании второго закона Ньютона приходим к следующему диффе­ренциальному уравнению движения тела;

, или .

 

Воспользуемся начальными условиями; если t=0, то S=0, V=ds/dt=0.

Заменяя ds/dt на V, перепишем уравнение в виде

откуда, полагая mg/k=а², имеем . Интегрируя, находим (V≤а);

Если t=0, то V=0, откуда С₁=0. Таким образом,

Отсюда

 

Но ; заменяя V на dS/dt, получаем для определения S уравнение

откуда, интегрируя, находим

.

Поскольку S=0 при t=0, имеем С₂=0.

Итак, закон падения тела при сопротивлении воздуха, пропорциональном квадрату скорости, описывается формулой

а скорость движения—формулой Здесь . Отме­тим, что скорость падения не возрастает беспредельно, так как (поскольку ), где Р— вес тела, причем практически скорость падения достигает своего предельного значения весьма быстро, отличаясь от него на весьма малую величину. Именно такую кар­тину наблюдают на практике при затяжных прыжках с парашютом с боль­шой высоты.

Решить уравнения:

651. .

652. .

653. .

654. .

655. .

 

4. Дифференциальные уравнения вида , не со­держащие независимой переменной. Уравнение этого вида допускает пониже­ние порядка на единицу, если положить у' =z, а за новый аргумент принять сам у. В этом случае у", у"',... выразятся по формулам (они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции) через z и производные от z по у, причем порядок уравнения понизится на единицу.

656. Решить уравнение .

Решение. Положим у'=z, . Уравнение примет вид , это—уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

.

Отсюда, возвращаясь к переменной у, имеем

.

или

 

657. Найти у' из уравнения при начальных условиях y(0)=0, у'(0)= 0.

Решение. Положим у’²=z; тогда 2у'у" =z' = у’ (dz/dy), т. е. . Уравнение примет вид . Это—линейное уравнение первого порядка относительно z:

Решая его методом Бернулли, т. е. используя подстановку z=иv, получим

;

Интегрируя, находим

и

Используем начальные условия: , т. е. откуда получаем

658. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен кубу нормали; искомая кривая должна проходить через точку М (0; 1) и иметь в этой точке касательную, составляющую с осью Ох угол 45°.

Решение. Таккак радиус кривизны плоской кривой выражается формулой , а длина нормали , то дифференциальное уравнение задачи примет вид

.

Отсюда, сократив на , приходим к уравнению .

Полагая у'=z, , получим для z уравнение . Интегрируяего, находим

, или , т.е.

возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению .

Произвольную постоянную С₁ найдем из условия, что касательная в точке М (0;1) составляет с осью Ох угол 45°, т. е. tg45°= = 1, или у' (0)=1. Следовательно, 1=С₁-1, т. е. С₁=2.

Таким образом, для определения у получено уравнение первого порядка

, откуда ; разделяем переменные и интегрируем:

.

Произвольную постоянную С₂ находим из условия прохождения кривой через точку M(0;1), т.е. . Следовательно, искомая кривая определяется уравнением

 

Решить уравнения:

659..

660. .

661.

662. .

663. .

664. .

665. .

5. Уравнения вида однородные относительно . Уравнение указанного вида допускает понижение порядка на единицу при замене у'/у=z, где z —новая неизвестная функция.

 

666. Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на у²:

Положим , откуда , или .

В результате получим уравнение

, или , т. е.

Отсюда, интегрируя, находим

, или , или

Интегрируя последнее уравнение, получим

или

667. Решить уравнение

Решение. Хотя это уравнение принадлежит к предыдущему виду, егоможно проинтегрировать более простым способом. В этом уравнении левая частьесть , в силу чего уравнение принимает вид или

Отсюда , или , т.е. . Интегрируя, находим окончательныйответ:

Решить уравнения:

668. . 669. .

670. 671. .

672. Найти у' из уравнения 2уу"=kу—у'² при начальных условиях у (0) = 1, у' (0) = 0.

● Подстановка y‘ ^г=z.

673. Найти кривую, если проекция радиуса кривизны на ось Оу постоянна и равна а, а ось Ох касается искомой кривой в начале координат.

674. Найти кривую, у которой радиус кривизны в любой точке равен sес а, где а—угол. образованный с осью Ох каса­тельной в соответствующей точке. Искомая кривая проходит че­рез точку М (0; 1) и касательная к кривой в этой точке парал­лельна оси Ох.

675. Тело, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без началь­ной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m.