Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-21 | 1122 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Производной от функции по аргументу называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
, или
(производная обозначается также ).
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , т.е. .
Производная есть скорость изменения функции в точке .
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования основных функций.
1) | 6) | 11) | |||
2) | 7) | 12) | |||
3) | 8) | 13) | |||
4) | 9) | ||||
5) | 10) |
Основные правила дифференцирования
Пусть С – постоянная, , , имеющие производные. Тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Дифференцирование сложной функции.
Если , , т.е. , где функции и имеют производные, то
(правило дифференцирования сложной функции)
Дифференцирование неявных функций.
Пусть уравнение определяет как неявную функцию от . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.
Продифференцировав по обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции для всех значений и , при которых множитель при в уравнении не обращается в нуль.
Примеры выполнения заданий.
Дифференцирование явных функций.
Пример 1. .
Решение:
.
Ответ:
Пример 2. .
Решение:
.
Ответ: .
Пример 3. .
Решение:
.
Ответ: .
Дифференцирование сложной функции.
Пример 4. .
Решение:
Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем
.
Ответ: .
Пример 5. .
Решение:
Ответ: .
Пример 6. .
Решение:
Ответ: .
Пример 7. .
Решение:
Перепишем функцию в другой вид .
|
Тогда ,
получим
.
Ответ: .
Пример 8. .
Решение:
Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим , . Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как у является функцией от х, то есть сложная функция х и . Следовательно,
,
, т.е.
.
Ответ:
Дифференцирование неявных функций.
Пример 9. Найти производную из уравнения .
Решение:
Так как у является функцией от х, то будем рассматривать у2 как сложную функцию от х. Следовательно, .
Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим , т.е. .
Ответ: .
Пример 10. Найти производную из уравнения .
Решение:
Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем
т.е. .
Ответ: .
Задания для практической работы.
Вариант № 1.
Найти производные функций:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
Найти производную от неявных функций:
8. .
9. .
10. .
Вариант № 2.
Найти производные функций:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
Найти производную от неявных функций:
8. .
9. .
10. .
Практическая работа № 4.
Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.
Цели работы: познакомиться с понятием дифференциального уравнения, научиться находить общее и частное решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Краткое изложение темы.
Уравнение вида
,
связывающее аргумент , неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
где — неизвестная функция; — независимая переменная.
Общее решение уравнений имеет вид .
Частным решением называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
|
.
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные
,
а затем проинтегрировать обе части полученного равенства
.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
где и - функции от х.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от х.
Примеры выполнения заданий.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение:
1) Разделим переменные
, тогда
2) Интегрируем обе части полученного уравнения:
;
.
Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С написали .
Это и есть общее решение данного уравнения.
Ответ: .
Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .
Решение:
1) Разделим переменные
2) Интегрируем обе части полученного уравнения:
- это общее решение данного уравнения.
3) Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения и в выражение для общего решения:
,
,
.
Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .
Ответ: .
2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение:
Это линейное уравнение: здесь , .
Положим и продифференцируем это равенство по х:
.
Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим
,
или
. (*)
Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения .
Разделим в этом уравнении переменные:
Интегрируем обе части уравнения:
,
,
(произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений)
,
.
Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение
.
Разделим переменные
Интегрируем обе части уравнения
Отсюда находим
Зная и , теперь получаем общее решение данного уравнения:
.
Ответ: .
Пример 4. Найти частное решение уравнения , если при .
Решение:
Разделив все члены данного уравнения на , получим уравнение
, которое является линейным.
Положим ; тогда .
|
Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим
,
. (*)
Для отыскания получаем уравнение
,
Разделим переменные:
Интегрируем обе части уравнения:
,
,
.
Подставляя выражение для в уравнение (*), имеем
,
Разделяем переменные
,
,
Интегрируем обе части уравнения
,
.
Общее решение данного уравнения:
.
Используя начальные условия , , имеем , откуда .
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
.
Ответ: .
Задания для практической работы.
Вариант 1.
1. Найдите общее решение уравнения .
2. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .
3. Найдите общее решение уравнения .
4. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .
Вариант 2.
1. Найдите общее решение уравнения .
2. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .
3. Найдите общее решение уравнения . (Приведите уравнение к общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка).
4. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .
Практическая работа № 5.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!