Дифференцируемость и дифференциал функции

Дифференциальное исчисление

Функций одной переменной

Производная

Пусть функция f определена в V (x ₀). Придадим точке х ₀ произвольное приращение так, чтобы x ₀+ x V (x ₀). Тогда функция f (x) получит приращение

_.

Рассмотрим - функцию, определённую в .

Определение 1. Производной функции f в точке х ₀ называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается , , , , .

Таким образом, по определению 1 . (1)

Обозначения ввёл Лейбниц (1646-1716), а , -Лагранж (1736-1813).

Производная функции в точке – число.

Пусть , , х V (x ₀). Тогда (1) равносильно

. (2)

Если , то говорят, что в точке х ₀ существует бесконечная производная, равная . Обозначается ().

Определение 2. Правой (левой) производной функции в точке х ₀ называют правый (левый) предел отношения при , если этот предел существует.

, .

Правая и левая производные называются односторонними производными в точке х ₀.

Справедливо следующее утверждение: функция f имеет в точке х ₀ производную тогда и только тогда, когда и существуют и равны. Тогда .

Пусть f имеет производную в каждой точке . Поставим в соответствие точке х производную функции в этой точке: , . Это соответствие определяет функцию аргумента х, определённую на . Она называется производной функцией от функции f.

Значение в точке х является производной функции в точке х (может быть числом, ).

Примеры.

1) y = f (x)= c . .

D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда

.

.D

Производная постоянной функции тождественно равна нулю: .

2) y = f (x)= x, .

D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда

. D

.

3) y = f (x)=| x | .

D Пусть х <0, .

Пусть х >0, .

Пусть х =0, ,

.

Т.к. ,то не существует. D

 

Физический смысл производной и дифференциала

 

Пусть f (x) определена в . Придадим точке x ₀ приращение , тогда приращение функции . Пусть . Отношение -это средняя скорость изменения переменной y на отрезке относительно х.

- мгновенная скорость изменения переменной у в точке x ₀ относительно х.

Таким образом - скорость функции в точке х ₀. Тогда если f описывает некоторый процесс любого характера (механического, биологического, химического и т.д.), то f ¢ - скорость изменения этого процесса в точке х ₀.

Примеры.

1) Пусть - закон движения материальной точки. В момент времени t ₀ точка прошла путь S ₀. В момент времени точка прошла путь S. За время D t точка прошла путь .

- средняя скорость движения точки между моментами времени t ₀ и ,

- называется скоростью движения материальной точки в момент времени t ₀.

, .

D S - путь, фактически пройденный материальной точкой за промежуток времени D t (между t ₀ и ) с переменной скоростью.

dS - путь, который прошла бы точка за момент времени D t, если бы она двигалась с постоянной скоростью (скоростью в момент времени t ₀).

Если , то .

2) - закон изменения скорости. Рассуждаем аналогично примеру 1: - среднее ускорение за время между t ₀ и , - ускорение в момент времени t ₀.

 

Производная показательно – степенной функции.

Примеры.

1) x = a cos t,

y = a sin t, ,

- окружность с центром в точке (0;0) радиуса а.

2) x = a cos t,

y = b sin t, ,

- эллипс.

3) x = a cos t + x ₀,

y = a sin t + y ₀, ,

- окружность с центром в точке , радиуса а.

4) x = a (t -sin t),

y = a (1-cos t).

Пусть по прямой Ох катится окружность радиуса а.

Циклоида - линия, которую при этом описывает каждая точка окружности.

- первая арка циклоиды

При получим всю циклоиду.

5) ,

, - астроида (гипоциклоида)

t
х
y

Построим по точкам.

 

 

t
х	-1
y					-1

Из примеров видно, что кривая (1) не всегда является графиком некоторой функции, то есть уравнения (1) не всегда определяют функцию y = f (x) (хотя связывают х и у).

Пусть функция x = j (t) имеет обратную , x ÎX. Подставляя в функцию y = y (t), получим , x ÎX. Таким образом, если для функции x = j (t)существует обратная функция, то система (1) определяет функцию y = f (x).

Определение. Задание функции y = f (x) с помощью системы (1) называется параметрическим заданием функции.

Если в параметрически заданной функции уравнение x = j (t) разрешимо относительно t (t = t (x)), то параметрическое задание функции можно свести к явному: (но это не всегда можно сделать).

Пример. x = a cos t,

y = a sin t, ,

x = j (t) монотонно убывает и непрерывна на , . Следовательно, существует обратная функция , определённая на . Значит, - функция от х, определённая на .Так как , то y >0. Значит,

.

Наоборот, всякую функцию y = f (x) можно многими способами представить параметрически в виде (1). Для этого достаточно задать совершенно произвольно функцию x = j (t) параметра t. Тогда для y = f (x) становится функцией того же параметра: .

Примеры.

1) , .

Положим . Получаем

x =sin t,

, .

2) y = f (x), .

x = t,

y = f (t), .

Таким образом параметрический способ задания функции является более общим.

Теорема 1. Если в системе (1) функции j (t) и y (t) непрерывны на и j (t) на этом промежутке строго монотонна, то система (1) определяет непрерывную функцию y = f (x), определённую на .

Доказательство.

Так как j (t) непрерывна на , то по следствию из II теоремы Больцано-Коши. . Так как x = j (t) непрерывна и строго монотонна на , то она имеет обратную функцию , непрерывную и строго монотонную на . Тогда - композиция двух непрерывных функций на , следовательно, она является непрерывной на функцией.

Теорема 2. Пусть функция y = f (x) задана системой (1). Если функции j и y непрерывно дифференцируемы на , и на этом отрезке , то функция f дифференцируема на некотором промежутке D и справедлива формула

. (2)

Доказательство.

Так как непрерывна и на , то одного знака на (I теорема Больцано–Коши). Следовательно (это будет доказано позже), j (t) строго монотонна на . Значит, существует обратная функция , x ÎD. Так как , то обратная функция дифференцируема .

Так как y = y (t), а , то - сложная функция. Она дифференцируема на D, так как j и y дифференцируемые функции, и её производная: .

Пример. x = a cos t

y = a sin t, ,

D j (t)= a cos t, непрерывна на , на ,

y (t)= a sin t, , , , . D

Замечание 1. Если , , то .

Если , то в этой точке не определена (хотя это не значит, что не существует).

Например,рассмотрим функцию , , .

Пусть , .

, .

Точке t =0 соответствует точка х =1.

, , не определена.

 

Если функции j (t), дважды дифференцируемы и , то существует :

.

Пример 1.

(*)

x=j (t)=ln t - непрерывная, строго монотонная при t >0 существует обратная функция , . Тогда уравнения (*) задают на функцию y = f (x). Найдём .

I способ: , , ,

, ,

, ,

.

II способ:

, (но не всегда выражаются через х).

Пример 2.

, .

На некотором промежутке эти формулы задают функцию y = f (x).

Пример 3.

D

. D

 

II. Неопределенность .

Теорема 3. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в , ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует , т. е. .

Из теоремы 3 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно больших функций при х ® х ₀ при выполнении условий 1)-4) теоремы 3 равен пределу при х ® х ₀ отношения производных этих функций.

Остаются в силе замечания 1, 2.

Пример 4. D Пусть a >1.

а) ;

б) . D

Вывод. Показательная функция a^x (a >1) при растет быстрее, чем степенная xⁿ. Степенная функция xⁿ при растет быстрее, чем логарифмическая log _ax (a >1).

 

III. Неопределенности вида |0×¥|, |¥-¥| сводятся к неопределенностям вида или : , |¥-¥| - привести к общему знаменателю.

Пример 5. D . D

Пример 6. D

. D

IV. Неопределенности сводятся к |0×¥|, а она к или .

Пример 7. D ;

.

Следовательно, . D

Пример 8. D ;

Значит, . D

Замечание. Важно в случае многократного применения правила Лопиталя не забывать каждый раз проверять, раскрыта ли неопределенность, иначе можно допустить ошибку.

 

Формула Тейлора

 

Теорема. Пусть функция f (x) имеет в некоторой окрестности V (a) точки a производные до (n +1)-го порядка включительно. Пусть х – любая точка из V (a), p - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется такая точка с, что справедлива формула

, (1)

где , c Î(a;x) (или c Î(x;a)). (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, R_n (x) - остаточный член формулы Тейлора в общей форме.

Доказательство.

Пусть j (x; a) - многочлен n - порядка относительно х правой части формулы (1), т. е.

.

В силу условия j (x; a) существует. Обозначим через R_n (x)= f (x) -j (x; a). Тогда формула (1) будет доказана, если будет установлено, что R_n (x) имеет вид (2). Зафиксируем . Пусть x > a (для x < a доказательство аналогично). На отрезке [ a; x ] рассмотрим вспомогательную функцию y (t):

, (3)

где , т. е. .

Покажем, что y (t) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1) y (t) непрерывна на [ a; x ],

2) y (t) дифференцируема на (a; x),

3) ,

.

Значит, y (a)= y (x). Тогда на основании теоремы Ролля $ c Î(a; x): y ¢(с)=0. Дифференцируя (3), получим

.

Тогда $ c Î(a; x): . Следовательно,

. (4)

Тогда из (3), (4) следует

, c Î(a; x).

Пример.1. Найти разложение по формуле Тейлора многочлена n -й степени

, , .

D f^{n +1}(x)= P^{n +1}(x)=0 " . Тогда R_n (x)=0 " . Следовательно,

. D

 

Остаточный член формулы Тейлора в различных формах

Преобразуем формулу (2). Т. к. c Î(a; x), то существует такое число q, 0< q <1, что c = a + q (x-a) Þ x-c = x-a-q (x-a)=(x-a)(1 -q). Тогда

. (5)

Частные случаи.

1) p = n +1 Þ или

, 0< q <1. (6)

(6)– остаточный член в форме Лагранжа (наиболее употребительная форма).

2) p =1 Þ . (7)

(7) – остаточный член в форме Коши.

Замечание 1. В формулах (6) и (7) q, вообще говоря, различны, т. к. эти формулы получены из (2) при различных значениях р, а q зависит от р.

Замечание 2. В некоторых задачах важен лишь порядок R_n (x) относительно (x-a).

Из (6) Þ

Þ (8)

(8) - остаточный член в форме Пеано.

Замечание 3. С помощью формулы Тейлора можно производить приближенные вычисления f (x) с любой степенью точности: f (x)» j (x; a), погрешность равна R_n (x).

Замечание 4. Положим в (1) а = х ₀, х-х ₀=D х, х = х ₀+D х, f (x ₀+D x) -f (x ₀)=D f (x ₀)=D y.

Тогда . Формула Лагранжа D y = f (x) -f (x ₀)= f¢ (c)D x является частным случаем формулы Тейлора и получается из нее при n =0. Действительно, при n =0

, 0< q <1.

 

Формула Маклорена

Полагая в формулах (1), (6)-(8) а=0, получим

-

формула Маклорена;

- форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

 

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

1. y = f (x)= e^x, .

, . При x =0 f (0)= f ^{( n )}(0)=1 Þ

,

где - форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

2. y = f (x)=sin x, .

,

Þ

,

.

3. y = f (x)=cos x, .

, Þ

,

.

4. y = f (x)=ln(1+ x), .

. Þ

,

.

5. y = f (x)=(1+ x) ^m, , .

, ,

,

.

6. Пусть в случае 5 m = n Þ . Тогда

,

Þ

- бином Ньютона.

7. Пусть в случае 5 m =-1 Þ

,

.

Положим здесь х = -х:

.

 

Пример.

D

f ¢(x)= x ³ - 4 x, f ²(x)=3 x ² - 4

f ¢(x)=0 при x ₁=0, x ₂=2, x ₃=-2

f ²(0)= - 4 Þ x =0 – точка строго максимума, max f (x)= f (0)=3

f ²(±2)=8 Þ x =±2 – точки строго минимума, min f (x)= f (±2)=-1. D

 

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция f (x) дифференцируема на отрезке [ a; b ]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a; b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [ a; b ]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [ a; b ] надо:

1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [ a; b ];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

 

4. Выпуклость функции

Пусть функция f (x) дифференцируема на < a;b >. Тогда существует касательная к графику функции f (x) в любой точке М (x; f (x)), x Î< a;b >, причем эти касательные не параллельны оси О у.

Определение. Функция f (x) называется выпуклой вверх (вниз) на < a;b >, если график функции в пределах < a;b > лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 8. Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на < a;b >. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на < a;b >.

Доказательство.

Пусть f ²(x)³0 " х Î< a;b >. Зафиксируем произвольное х ₀Î(a;b). Докажем, что график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной в точке М ₀(x ₀; f (x ₀)). Уравнение касательной:

y _кас. -f (x ₀)= f ¢(x ₀)(x-x ₀). (1)

Разлагая f (x) по формуле Тейлора для n =1 " х Î(a;b), получим

, х ¹ х ₀, х ₀< c < x (x < c < х ₀) (2)

Вычтем (1) из (2):

, с Î(х ₀; х) (с Î(х; х ₀)). (3)

" х Î(a;b) f ²(x)³0, с Î(х ₀; х)Ì(a; b). Следовательно, f ²(с)³0.

Тогда из (3) следует y-y _кас.³0 " х Î(a;b), т. е. y ³ y _кас. " х Î(a;b). Следовательно, график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной. Т. к. х ₀ - произвольная точка из интервала (a;b), то f (x) выпукла вниз на < a;b >.

Пример.

D y = f (x)= x ³,

f ¢(x)=3 x ², f ²(x)=6 x

f ²(x)³0 при x ³0 Þ на [0;+¥) функция выпукла вниз,

f ²(x)£0 при x £0 Þ на (-¥;0] функция выпукла вверх. D

 

5. Точки перегиба

Пусть f (x) определена и непрерывна в V (x ₀).

Определение. Точка x ₀ называется точкой перегиба функции f (x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f (x).

В примере х =0 – точка перегиба.

Теорема 9 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x ₀ функции f (x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть в точке перегиба x ₀ существует непрерывная f ²(x ₀). В условиях теоремы для f ²(x ₀) возможны 3 случая.

1) f ²(x ₀)>0. Следовательно, т. к. f ²(x ₀) непрерывна, $ V (x ₀), в которой f ²(x)>0, т. е. в точке x ₀ функция не меняет направления выпуклости. Значит, x ₀ не является точкой перегиба.

2) f ²(x ₀)<0. Следовательно, $ V (x ₀), в которой f ²(x)<0. Значит, x ₀ не является точкой перегиба.

3) f ²(x ₀)=0.

В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Пример.

D , .

, .

Следовательно, в точке х ₀=0 f ² не существует.

При x >0 f ²(x)>0 Þ на (0;+¥) функция выпукла вниз,

При x <0 f ²(x)<0 Þ на (-¥;0) функция выпукла вверх.

Значит, х ₀=0 - точка перегиба. D

Т. о., точками возмо