Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-21 | 1690 |
5.00
из
|
Заказать работу |
При естественном способе задания движения ускорение точки определяют формулой
. (16)
При этом
, (17)
Где
, (18)
. (19)
a τ - проекция ускорения на , a - алгебраическая
скорость точки;
an - модуль нормального ускорения точки;
-единичные векторы главной нормали и касательной.
Если точка движется равномерно, то
v = const; a τ = 0; s = s0 + vt. (20)
При равнопеременном движении a τ = const. В этом случае
, (21)
s = s0 + v0 t + , (22)
а также
s = s0 + , (23)
s = s0 + . (24)
Пример 4. При прямолинейном движении судна его скорость в пункте А была 10 узлов, а в пункте В стала 30 узлов. Расстояние между пунктами A и В равно 2 милям. Считая в первом приближении движение судна равноускоренным, определить время t движения судна на данном расстоянии, а также модуль его ускорения (узел - 1 единица скорости, равная миле в час, или 0,5144 м/с).
Решение. Если взять начало отсчета в начальном положении судна, то
s 0 = 0; v 0 = 10 узлов; v = 30 узлов; s = 2 мили.
По формуле (23) найдем
t = ч = 6 мин.
Пользуясь (21), получим
аτ = = 220узл/ч
Так как движение прямолинейное, то аτ = а.
Задачи
1.2.8. * Искусственный спутник обращается вокруг Земли на высоте 500 км по круговой орбите. Определить время обращения и модуль скорости спутника, если известно, что его центростремительное ускорение должно быть равно ускорению свободно падающего тела. На данной высоте g = 8,5 м/с2, а радиус Земли R ≈ 6370 км.
Ответ: v = 7,64 км/с, t = 1,56 ч.
1.2.9. * Считая движение снаряда в канале ствола равноускоренным, определить изменение модуля скорости снаряда при выходе из канала, если ствол укоротить в п раз.
Ответ: Уменьшится в √п раз.
1.2.10.* Ракета, движущаяся вертикально вверх равноускоренно, в момент окончания процесса горения рабочего вещества (активный участок траектории) достигла высоты 30 км со скоростью 7200 км/ч. Считая дальнейшее движение ракеты равнозамедленным с ускорением, равным по модулю 9,2 м/с2, определить время t и полную высоту Н подъема ракеты, если в начальный момент ее скорость была равна нулю.
Ответ: Н = 247 км; t = 4 мин 7с.
1.2.11.* Точка движется по окружности радиусом R равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за t (с). Определить модули скорости и ускорения точки в конце этого промежутка времени.
Ответ: v = ; .
Радиус кривизны траектории точки
Радиус кривизны траектории движущейся точки определяют по формуле
.
Если даны уравнения движения точки в координатной форме: x = x (t); y = y (t); z = z (t), то для определения ρ находят:
1) ; ; ; ;
2) ;
3) ; ; ; ;
4) ;
5) .
Пример 5. Движение точки задано уравнениями
х = b (3cos t + cos 3 t),
у = b (3sin t+ sin 3 t)(b - постоянная величина).
Определить радиус кривизны траектории как функцию времени в промежутке .
Решение. Определим проекции скорости точки на координатные оси:
= 3 b (sin t + sin 3 t);
= 3 b( cos t + cos 3 t),
следовательно,
v 2 = 18 b 2 (1 + cos 2 t) = 36 b 2 cos2 t,
откуда v = 6 b cos t.
Касательное ускорение
= - 6 b sin t.
Найдем проекции ускорения точки на координатныеоси:
= - З b (cos t + 3 cos 3 t);
= 3 b (sin t -3sin 3 t),
отсюда
a2 = 18 b2 (5 + З cos 2 t).
Определим нормальное ускорение точки:
,
откуда
an = 126 cos t.
Искомый радиус кривизны траектории
= 3 b cost.
Наибольший радиус кривизны ρ mах = 3 b.
Пример 6. Точка движется в плоскости хОу с постоянным ускорением , равным по модулю 2 м/с2 и направленным параллельно оси Ох. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = 1 с, если в начальный момент точка имела скорость равную по модулю 2 м/с и направленную под углом α = 30° к оси Оу.
Решение. Согласно условиям задачи, ускорение постояннопомодулю и направлению. Поэтому в любой момент времени будут иметь место соотношения
= 2; = 0.
Интегрируя, получим
.
Так как при t = 0
; ,
то
C 1= v0 sin α = 1; C2 = v 0cos α = √ 3.
Следовательно,
vх = 2 t + 1; vy = √ 3.
Теперь найдем модули скорости
и касательного ускорения
.
В момент t = 1 с, получим
м/c; м/с2.
Так как a = 2 м/с2, то при t = 1 с
= 1 м/с2.
После этого найдем
м.
Задачи
1.2.12. * Движение точки задано уравнениями х = 3 t; y = 4 t - 3 t 2 (х, у - в сантиметрах, t - в секундах). Определить радиус кривизны траектории точки в те моменты, когда она пересекает ось Ох.
Ответ: ρ = 6,94 см.
1.2.13.* Движение точки в вертикальной плоскости задано уравнениями
х = v0t – r sin ; y = R – r cos , где v 0, r и R — постоянные величины. Определить радиус кривизны траектории точки в наивысшем ее положении.
Ответ: ρ = (r + R)2 /r.
1.2.14.* Движение точки задано уравнениями
х = r cos ωt + l sin ; y = - l cos + r sin ωt,
где r, l, ω — постоянные величины.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = π/ω.
Ответ: ρ = .
1.2.15.* Движение точки задано уравнениями x = 2 b cos t – b cos 2 t, y = 2 b sin t – b sin 2 t, где b - постоянная величина. Определить наибольший радиус кривизны траектории точки.
Ответ: ρтах = 8 b/ 3
1.2.16.* Движение точки задано уравнениями х = t; y = sin t 2. Определить радиус кривизны траектории точки в ближайший после начала движения момент времени, в который точка пересекает ось Ох.
Ответ: ρ = 25,1.
1.2.17.* Движение точки задано уравнениями
x= t cos t, y = t sin t, z = Н - 2 t, где постоянная величина Н и х, у, z - в метрах, t - в секундах. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = 2 с.
Ответ: ρ = 3,27 м.
1.2.18.* Движение точки задано уравнениями
х = еt соs t; y = et sin t; z = et. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.
Ответ: ρ = .
1.2.19.* Точка движется в пространстве с постоянным ускорением , направленным параллельно оси Ох и равным по модулю 5 м/с2. В начальный момент точка имела скорость равную по модулю 5 м/с и образующую с осями Ох и Оу соответственно углы α = 60° и β = 45°. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = 1 с.
Ответ: ρ = 30 м.
1.2.20.* Угол поворота винта судна диаметром 120 см изменяется по закону φ = 10 πt рад (t - в секундах). Судно движется прямым курсом с постоянной скоростью, равной 10 м/с. Определить радиус кривизны траектории точки винта, наиболее удаленной от оси.
Ответ: ρ = 0,77 м.
1.2.21.* Колесо радиусом R катится без скольжения по прямолинейному рельсу со скоростью центра = const. Определить радиус кривизны траектории точки на ободе колеса в тот момент, когда оно сделает 1/4 оборота, если в начальный момент данная точка совпадала с точкой касания.
Ответ: ρ = 2 R√ 2.
1.2.22.* Из условий задачи 38 определить радиус кривизны траектории точки при повороте колеса на угол 120°.
Ответ: ρ = 2 R √3.
1.2.23.* Движение точки по кривой у = х 2 задано уравнением s = l,5 t 2 - 4 t (х, у, s - в метрах, t - в секундах). При t = 0 x = y = 0. Определить: 1) характер движения точки в моменты t0 = 0; t 1 = 1 с и t 2 = 2 с; 2) модули скорости, касательного и нормального ускорений точки в момент t = 0.
Ответ: 1) при t = 0 и t = 1 с движение замедленное, при t = 2 с - ускоренное;
2) v = 4 м/с; aτ= 3 м/с2; аn = 32 м/с2.
1.2.24.* Движение точки задано уравнениями х = t; y = t 2(х, у - в метрах, t - в секундах). Определить модули скорости и ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент, когда последний достигает своего наименьшего значения.
Ответ: v = 1 м/с; а = 2 м/с2; ρ = 0,5 м.
1.2.25.* Перемещение грузов по подвесному тросу осуществляется с помощью люльки (рис. 21), подвешенной к подвижному ролику С. Точки A и В крепления троса находятся на одной горизонтали на
Рис. 21 расстоянии АВ = 40 м.
Считая части троса АС и ВС прямолинейными, определить радиус кривизны траектории ролика С, если наибольшее провисание троса равно 4 м. Найти также нормальное ускорение ролика и тот момент, когда он проходит середину троса со скоростью 3 м/с. Размерами ролика пренебречь.
Ответ: ρ = 100 м; ап= 0,0865 м/с2
1.2.26. Даны нормальное ап = 2,5 м/с2 и касательное аτ = 1,5 м/с2 ускорения точки. Определить полное ускорение точки. (2,92)
1.2.27. Определить модуль ускорения точки, если его вектор , где и - орты естественного триэдра. (4,30)
1.2.28. Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением аτ = 1,4 м/с2. Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда ее полное ускорение а = 2,6 м/с2. (2,19)
1.2.29. Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда ускорение точки а = 1,5 м/с2, а угол между векторами ускорения и скорости равен 65°. (1,36)
1.2.30. Точка движется по окружности. Определить радиус окружности, если в момент времени, когда скорость r = 10 м/с, вектор ускорения и вектор скорости, равный по модулю 1,2 м/с, образуют угол 30. (167)
1.2.31. Ускорение точки равно а = 1 м/с. Векторы ускорения и скорости образуют угол 45°. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории ρ = 300 м. (52,4)
1.2.32. Точка движется по окружности, радиус которой r = 200 м, с касательным ускорением 2 м/с2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени, когда ее скорость v = 10 м/с. (14,0)
1.2.33. Точка движется по окружности, радиус которой r = 50 м, со скоростью v = 2 t. Определить модуль полного ускорения в момент времени t = 5 с. (2,83)
1.2.34. Задано уравнение движения точки по криволинейной траектории: s = 0,2 t2 + 0,3 t. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 3 с, если в этот момент радиус кривизны траектории ρ = 1,5м. (1,55)
1.2.35. Определить скорость точки в момент времени, когда радиус кривизны траектории ρ = 5 м, касательное ускорение аτ = 2 м/с2 , tg β = 3, где β - угол между векторами скорости и ускорения точки (5,48)
1.2.37. По окружности радиуса r = 6 м движется точка со скоростью v = 3 t. Определить угол в градусах между ускорением и скоростью точки в момент времени t = 1 с. (26,6)
1.2.37. Точка движется по окружности радиуса r = 9 м. Определить скорость точки в момент времени, когда касательное ускорение аτ = 2 м/с2, а вектор полного ускорения образует угол 70° с касательной к траектории. (7,03)
1.2.38. Точка движется по окружности радиуса r = 200 м из состояния покоя с постоянным касательным ускорением аτ = 1 м/с2. Определить, полное ускорение точки в момент времени t = 20с. (2,24)
1.2.39. На рис. 22 приведены графики ускорений
аτ = аτ (t) и ап = ап (t). Определить, какой угол в градусах образует полное ускорение с направлением скорости в момент времени t = 3 с. (56,3)
1.2.40. Точка движется по окружности радиуса r = 2 м. Нормальное ускорение точки
меняется согласно закону аn = 2 t2.
Рис. 22 Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t = 1 с. (45)
1.2.41. Задан закон движения точки по траектории: s = 0,5 t 2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t 1= 3 с, когда радиус кривизны ρ = 4 м.(66,0)
1.2.42. По окружности радиуса r = 1 м движется точка согласно уравнению s = 0,1 t 3. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 2 с. (1,87)
1.2.43. Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением аτ = 2 м/с2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t 1= 2 с, когда радиус кривизны ρ = 4 м, если при t 0 = 0 скорость v 0 = 0. (63,4)
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!