Раздел lll. Расчет элементов конструкций цельного сечения

§ 3.1. Основы расчета элементов конструкций цельного сечения по предельным состояниям

Элементы конструкций рассчитывают по методу пре­дельных состояний. Предельным называется такое со­стояние конструкции, за пределами которого дальней­шая эксплуатация ее невозможна.

Для конструкций из дерева и пластмасс имеют зна­чение главным образом два вида предельных состояний:

по несущей способности (прочности, устойчивости),

по деформациям (прогибам, перемещениям). Расчет по первому предельному состоянию производится на рас­четные нагрузки, а по второму предельному состоянию производится на нормативные нагрузки, т. е. без учета ко­эффициента перегрузки. Проф. д-р техн. наук Н. С. Стре­лецкий сформулировал основной принцип всякого инже­нерного расчета, который состоит в том, чтобы было соблюдено условие неразрушимости. Исходя из этого принципа, наибольшая возможная или, иначе сказать, пре­дельная нагрузка должна быть меньше или равна наи­меньшей несущей способности конструкции, вычислен­ной с учетом рассеяния показателей качества материа­ла, нагрузок и условий работы конструкции, а также с учетом фактора времени.

В СНиП П-25-80, введенном в действие 1 января 1982 г., расчетные сопротивления установлены в зависи­мости от сорта древесины сосны и ели, а расчетные со­противления древесины других пород определяются умножением основных расчетных сопротивлений на соот­ветствующие коэффициенты. В соответствии со СНиП П-25-80, в табл. III.1 даны расчетные характеристики древесины сосны и ели при длительном действии статической нагрузки, а в табл. III.2- коэффициенты пересчета расчетных сопротивлений для древесины других пород.

 

Примечания:

1) расчетное сопротивление древесины местному смятию поперек волокон на части длины (при длине незагруженных участков не менее длины площадки смятия и толщины элементов), кроме случаев, оговоренных в табл. III.I, определяют по формуле,

Где R_см90 - расчетное сопротивление древесины сжатию и смятию по всей поверхности поперек волокон табл. III.I; l_см – длина площадки смятия вдоль волокон древесины, см;

2)расчетное сопротивление смятию под углом α к направлению волокон вычисляют по формуле

3) расчетное сопротивление сдвигу под углом к направлению волокон находят по формуле

4) в конструкциях построечного назначения значения расчетных сопротивлений на растяжение, принятых по п. 2, а этой таблицы, следует снижать на 30 %

5) расчетное сопротивление изгибу для элементов настила и обрешетки под кровлю из древесины 3 сорта следует принимать 13 МПа

Условия работы конструкций учитывают умножени­ем расчетных сопротивлений, приведенных в табл. III.I, на соответствующие коэффициенты условий работы:

а) при различных условиях эксплуатации значения даны в табл. III.3;

 

 

Таблица III.2. Переходные коэффициенты к расчетным сопротивлениям табл. III.I для установления расчетных сопротивлений древесины других пород

 

 

Примечание: коэффициенты, указанные в таблице для конструкций опор воздушных линий электропередачи, изготовляемых из непропитанной антисептиками лиственници (при влажности <25%), умножают на коэффициент 0,85.

 

 

Таблица III.3. Предельная влажность и коэффициенты условий работы конструкций

 

Примечания: 1. применение клееных деревянных конструкций в условиях эксплуатации А1 при относительной влажности воздуха ниже 45% не допускается.

2. В неклееных конструкций, эксплуатируемых в условиях В2, В3, когда усушка древесины не вызывает расстройства или увеличения податливости соединений, допускается использовать древесину с влажностью до 40% при условии защиты ее от гниения,

б) для конструкций, эксплуатируемых при установившейся температуре воздуха до +35ºС – на коэффициент m_т=1; при температуре +50 ºС 35ºС – на коэффициент m_т=0,8. для промежуточных значений температуры коэффициент принимают по интерполяции;

в) для конструкций, в которых напряжения в элементах, возникающие от постоянных и временных длительных нагрузок, превышают 80% суммарного напряжения всех нагрузок, – на коэффициент m_д=0,8.

г) для конструкций, рассчитываемых с учетом действия кратковременных (ветровой, монтажной или гололедной) нагрузок, а также нагрузок от тяжения и обрыва проводов воздушнух ЛЭП и сейсмической на коэффициент m_н.

 

 

 

д) для изгибаемых, внецентренно сжатых, сжато-изгибаемых и сжатых клееных элементов прямоугольного сечения высотой более 50 см расчетные сопротивления изгибу и сжатию вдоль волокон на коэффициент m_б.

 

 

е) для изгибаемых, внецентренно сжатых, сжато-изгибаемых и сжатых клееных элементов в зависимости от толщины слоев расчетные сопротивления изгибу, скалыванию и сжатию вдоль волокон на коэффициент m_сл.

 

 

ж) для гнутых элементов конструкций расчетные сопротивления растяжению, сжатию и изгибу на коэффициент m_гн.

 

 

Примечание: r_к- радиус кривизны гнутой доски или бруска; а- толщина гнутой доски, бруска в радиальном направлении.

 

и) для растянутых элементов с ослаблением в расчетном сечении и изгибаемых элементов из круглых лесоматериалов с подрезкой в расчетном сечении - коэффициент m₀=0,8.

к) для элементов, подвергнутых глубокой пропитке антиперенами под давлением, коэффициент m_α=0,9.

При расчете по второму предельному состоянию мо­дуль упругости древесины принимают: вдоль волокон E=10000 МПа, поперек волокон E ₉о =400 МПа, а мо­дуль сдвига относительно осей, направленных вдоль и поперек волокон, G=500 МПа. Коэффициент Пуассона древесины поперек волокон при напряжениях, направ­ленных вдоль волокон, принимают V₉о_;о=0,5, а вдоль волокон при напряжениях, направленных поперек воло­кон, Vo,9o = 0,02.

Для конструкций, которые находятся в различных условиях эксплуатации, подвергаются повышенной тем­пературе, совместному воздействию постоянной и времен­ной длительной нагрузок, модули упругости (Е и G) ум­ножаются на коэффициенты пп. а, б, 'в табл. III.3. Кро­ме того, в СНиП П-25-80 предусматривается, что в случае расчета конструкций на устойчивость и по деформиро­ванной схеме модуль упругости древесины следует при­нимать E' = 300R_с, где Rс— расчетное сопротивление сжатию вдоль волокон по табл. III. 1. Физико-механичес­кие характеристики фанеры марки ФСФ и бакелизированной даны в СНиП П-25-80, для различного вида пластмасс они изложены в специальной литературе, а для основных из них были приведены в разд. I

§ 3.2. Центральное растяжение

Деревянные элементы, работающие на центральное растяжение, рассчитывают по наиболее ослабленному сечению:

σ_p= N/F_HT≤R_pm₀. (III.1)

Коэффициент m₀ = 0,8 учитывает концентрацию напря­жений, которая возникает в местах ослаблений. При оп­ределении F_HT необходимо учитывать волокнистую струк­туру древесины.

Если считать, что площадь и жесткость волокон дре­весины одинаковы, то в сечении /—/ (рис. III.1) все во­локна будут загружены одинаково. В первом отверстии у сечения 2—2 часть волокон будет перерезана, в связи с чем их усилия будут переданы соседним волокнам, ко­торые окажутся нагруженными сильнее. Таким образом распределение растягивающих напряжений в сечении 3 — 3 будет неравномерным. На расстоянии 5 между от­верстиями эта неравномерность будет постепенно вырав­ниваться.

Однако если расстояние S невелико, то вырав­нивания не произойдет, а так как в сечении 4 — 4, где находятся два отверстия, часть волокон ими будет так­же вырезана, то соседние пока сильно нагруженные во­локна еще получат дополнительные усилия. В результа­те усилия в отдельных волокнах могут достичь их пре­дела прочности на растяжение, что приведет к разрыву волокон, передаче усилий с них соседним волокнам и их последующему разрыву. Так как разрыв будет в наибо­лее слабых местах волокон, то разрушение элемента про­изойдет по зигзагу} как показано на рис. III.1.

Из изложенного следует, что при определении пло­щади ослабления F_HT надо учитывать расстояния S меж­ду соседними ослаблениями.

В СНиП П-25-80 в связи с этим устанавливается, что при определении F_HTвсе ос­лабления, расположенные на участке длиной до 200 мм, следует принимать совмещенными в одном сечении.

 

 

Применительно к рис. III. 1 по этому требованию при S>200 мм F_HT = b(h—2d), а при S<200 мм F_HT =b(h-3d).

§ 3.3. Центральное сжатие

Пластические свойства древесины при центральном сжатии проявляются значительно сильнее, чем при рас­тяжении, поэтому при расчете на прочность ослабление учитывают только в рассчитываемом сечении, а при рас­чете на устойчивость, во-первых, особо учитывают зону работы древесины, в которой модуль упругости нельзя считать постоянным, и, во-вторых, принимают во внима­ние невозможность обеспечения при защемлении элемен­та угла поворота, равного нулю.

Расчет на прочность производят по формуле

σ_c=N/ F_HT≤R_c(III. 2)

где N — действующее в элементе усилие; F_HT— площадь нетто в рас­считываемом сечении.

Расчет на прочность необходим главным образом для коротких стержней, для которых условно длина ≤7δ. Более длинные элементы, не закрепленные в по­перечном направлении связями, следует рассчитывать на продольный изгиб, который состоит в потере гибким центрально сжатым прямым стержнем своей прямоли­нейной формы, что называется потерей устойчивости. Потеря устойчивости сопровождается искривлением оси стержня при напряжениях, меньших предела прочности. Устойчивость стержня определяют критической нагруз­кой, теоретическое значение которой для абсолютно упругого стержня было в 1757 г. определено Эйлером формулой

N _кр=π² Е J / l²₀ (III. 3)

Где Е- модуль упругости; J- минимальный момент инерции стержня; l₀- расчетная длина стержня, зависящая от схемы опирания концов и распределения нагрузки по длине стержня, вычисляемая по формуле l₀ =μ₀l; l- свободная длина стержня; μ₀- коэффициент, который принимают равным: 1) в случае загружения продольными силами по концам стержня: при шарнирно-закрепленных концах, а также при шарнирном закреплении в промежуточных точках элемента 1; при одном шарнирно-закрепленном и другом защемленном конце 0,8; при одном защемленном и другом свободном нагруженном конце 2,2; при обоих защемленных концах 0,65. 2) в случае распределенной равномерно по длине продольной нагрузки: при обоих шарнирно-закрепленных концах 0,73; при одном защемленном и другом свободном нагруженном конце 1,2.

Расчетную длину пересекающихся элементов, соединенных между собой в месте пересечения, следует принимать равной: при проверке устойчивости в плоскости конструкции- расстоянию от центра узла до точки пересечения элементов; при проверке устойчивости из плоскости конструкции а) в случае пересечения двух сжатых элементов – полной длине элемента; б) в случае пересечения сжатого элемента с неработающим- значению l₁, умноженному на коэффициент μ₀.

(III. 4)

Где l₁, λ₁,F₁ - полная длина, гибкость и площадь поперечного сечения сжатого элемента; l₂, λ₂,F₂ - полная длина, гибкость и площадь поперечного сечения неработающего элемента.

Значения μ₀ следует принимать не менее 0,5.

в) в случае пересечения сжатого стержня с растянутым равной по величине силой- наибольшей длине сжатого элемента, измеряемой от центра узла до точки пересечения элементов.

 

Разделим левую и правую части равенства (III. 3) на площадь сечения F:

N _кр/ F =π² Е J /F l²₀.

Так как радиус инерции стержня , а гибкость , то получим

(III. 5)

Известно, что коэффициент продольного изгиба φ является отношением критического напряжения к пределу прочности, т. е. поправочным коэффициентом, на который следует умножать предел прочности, чтобы получить критическое напряжение

φ=σ_кр/ R _пч (III. 6)

В формуле выразим σ_кр=φ R _пч , тогда получим

φ=π² Е /λ² R _пч

Так как для абсолютно упругого материала Е=Const, а предел прочности материала без учета рассеяния для данного материала также постоянен, то можно считать, что

π² Е / R _пч = А (III. 7)

Окончательно будем иметь формулу для определения коэффициента продольного изгиба

φ= А/λ² (III. 8)

 

 

Для каждого материала А имеет свое значение. В ча­стности, для древесины А =3000, для фанеры А =2500, для полиэфирного стеклопластика А=1097; для органи­ческого стекла А = 580 и т. д. В связи с тем, что древесина является упругопластическим материалом, ее мо­дуль упругости можно считать постоянным только до предела пропорциональности. На рис. III.2 показана зависимость σ — ε при сжатии древесины, из которого видно, что за пределом пропорциональности модуль уп­ругости, характеризуемый углом наклона касательной к горизонтали, резко меняется.

Уравнение (III.8) является гиперболической кривой и называется гиперболой Эйлера. Если построить эту кривую, то будет видно (рис. III.3), что при малых гиб­костях, когда критическое напряжение превышает предел пропорциональности, коэффициент продольного из­гиба получается больше 1, чего по существу быть не может.

 

Рис. III.4. Виды ослаблений элементов

а — не выходящие на кромку; б — выходящие на кромку

 

Вопросом расчета на продольный изгиб при работе стержня за пределом пропорциональности занимались многие ученые за рубежом, например, Энгессер, Карман, Тетмайер, а в Рос­сии Ф. С. Ясинский, который обращал большое внимание на явление про­дольного изгиба за пределом упругой работы и указывал на необходимость в этом случае для каждого материала находить соответствующую экспери­ментальную кривую. В СССР такая работа для древесины была проведе­на ЦНИИПС. Для кривой ЦНИИПС Д. А. Кочетковым было подобрано аналитическое выражение, которое используется и в на­стоящее время:

φ= 1— а(λ/100)² (III.9)

Для древесины коэффициент а = 0,8, для фанеры а = 1. В точке λ=70 кривая ЦНИИПС и гипербола Эйле­ра имеют общую касательную. Кривую ЦНИИПС ис­пользуют при гибкостях 0—70, а формулу Эйлера при λ >70. Формула Эйлера может быть распространена и за предел пропорциональности, если ввести в расчет приведенный модуль упругости Е_к, например для прямо­угольного сечения.

 

Е _σ= dσ / dε=tgβ

Зная как определить коэффициент продольного изгиба, расчет на продольный изгиб выполняют по формуле

σ_с = N/ φF_расч≤ R_c. (III.11)

где F_расч- расчетная площадь поперечного сечения элемента которая принимается равной: 1) при ослаблениях, не выходящих на кромки: а) если их площадь не превышает 25% F_бр, то F_расч= F_бр. б) если площадь ослаблений превышает 25% F_бр, то F_расч=4 F_нт/3. 2) при симметричных ослаблениях, выходящих на кромку F_расч= F_нт. Здесь F_бр- площадь сечения брутто, F_нт- площадь сечения нетто.

 

Гибкость элементов конструкций не должна превы­шать значений, приведенных в табл. III.4.

 

Таблица III.4. Предельные гибкости элементов конструкций

 

§ 3.4. Изгибаемые элементы

Изгибаемые элементы рассчитывают по первому и второму предельным состояниям, или иначе на прочность и жесткость. В расчете по первому предельному состоя­нию используют расчетную нагрузку, а при определении прогиба нормативную нагрузку, т. е. без учета коэффи­циента перегрузки.

Расчет деревянных элементов на изгиб по нормаль­ным напряжениям производят приближенно. При более точном методе потребовался бы учет различных значе­ний модулей упругости в сжатой и растянутой зонах (рис. III.5). Из этого рисунка видно, что в сжатой зоне развиваются большие пластические деформации, кото­рые нарушают прямолинейность распределения нормаль­ных напряжений по высоте сечения. Таким образом, нормальные напряжения определяют при двух допущени­ях: во-первых, считается, что модули упругости в растя­нутой и сжатой зонах равны, т.е. ЕС=ЕР, и во-вторых, принимается прямолинейное распределение напряжений по высоте элемента, как это показано на рис. III.6.

 

 

 

При этих допущениях нормальные напряжения в эле­ментах, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования:

σ_и= M/W_HTm_b ≤R_и (III. 12)

При определении W_HT ослабления сечений, располо­женные на участке длиной 200 мм, совмещаются в одно сечение; M_б — коэффициент, учитывающий размеры се­чения.

Прочность проверяют в сечении, где действуют наи­большие изгибные напряжения и, кроме того, в тех сече­ниях, в которых имеются ослабления. При расчете бревен следует учитывать «сбег» бревна, который принима­ют 0,8 см на 1 м длины. Следует иметь в виду, что брев­на обладают большей прочностью на изгиб, в связи с чем их расчетное сопротивление изгибу больше, чем у досок и брусьев. Это связано с тем, что в бревнах нет перерезанных волокон, которые даже' при наличии ко­сослоя имеют длину от одной опоры до другой и, кроме того, пороки имеют в бревнах меньшее влияние.

Известно, что Д. И. Журавским было установлено наличие в элементах, работающих на поперечный изгиб, не только нормальных, но также и касательных напря­ИИий, поэтому разрушение элемента может произойти как от нормальных, так и от касательных напряжений в зависимости от того, какие из них раньше достигнут предела прочности. Касательные напряжения особенно опасны, например при больших сосредоточенных гру­зах, расположенных недалеко от опор, или в балках двутаврового сечения.

В однопролетных элементах прямоугольного попереч­ного сечения, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, разрушение от касательных напряжений бу­дет происходить при сравнительно небольшом отноше­ние длины к высоте поперечного сечения.

Такие отношения можно установить следующим об­разом: так как M_max = ql ²/8; W=bh²/6; Q=ql/2; S = bh²/8, и J=bh³/l2, то будем иметь:

R_и= 6ql²/8bh² откуда b=3ql²/4h²R_и (III. 13)

R_ск= 12qlbh²/16b²h³ откуда b=3ql/4hR_cк (III. 14)

Приравняв (III. 13) к (III. 14) получим

l/h= R_и/ R_cк (III. 15)

Например для пп. 1а, б, в (см. табл. III.1) получим значения отношений, показанных в табл. III.5.

На прочность от касательных напряжений проверяют по формуле

τ= Q S / b I_бр≤R_ск (III. 16)

где Q –расчетная поперечная сила; S -статический момент брутто сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси; I_бр -момент инерции брутто; b -ширина сечения; R_ск -расчетное сопротивление сдвигу.

 

 

Помимо расчета на прочность изгибаемые элементы, особенно при их малой ширине, проверяют также на устойчивость плоской формы деформирования:

σ_и= М / φ_мW_бр≤R_ск (III.17)

где М - максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке l_р; W_бр- момент сопротивления брутто; φ_м - коэффициент устойчивости изгибаемых элементов шарнирно закрепленных от смещения из плоскости изгиба и закрепленных от поворота в опорных сечениях, определяемый по формуле

φ_м=140(b ²/l_р h) k_ф k_пМ; (III.18)

b, h – ширина и высота поперечного сечения элемента; l_р- расстояние между опорными сечениями элемента, а при закреплении сжатой кромки элемента в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба – расстояние между этими точками; k_ф- коэффициент, зависящий от формы эпюры моментов на участке l_р и определяемый в соответствии с формулами, приведенными в табл. III.6; k_пМ- коэффициент, который вводят при подкреплении из плоскости изгиба растянутой кромки элемента в промежуточных точках на участке l_р и определяют по формуле

k_пМ =1+[0,142 l_p/h + 1,76 h/ l_p + 1,4 α_p – 1] m² / m² + 1 (III.19)

α_p –центральный угол, рад определяющий участок l_p элемента кругового очертания (для прямолинейных элементов α_p =0); m- число подкреплений (с одинаковым шагом) точек растянутой кромки элемента на участке l_p (кроме крайних точек). При m≥4 значение m² / m² + 1 следует принимать равным 1.

Как указывалось ранее изгибаемые элементы проверяют по второму предельному состоянию на жесткость по формуле

f₀ = k P_н l³ / E I_бр (III.20)

 

 

 

 

где k — коэффициент, зависящий от вида нагрузки, например для равномерно распределенной нагрузки двухопорной балки k — 5/384; Рн— нормативная нагрузка на элемент, например для равномерно распределенной нагрузки Pн = q_nl; Е — модуль упругости материала; Рн — момент инерции брутто.

Для элементов из пластмасс, имеющих малый модуль упругости или для высоких деревянных элементов, у ко­торых отношение пролета к высоте превышает 15, необ­ходимо учитывать влияние на прогиб касательных на­пряжений. В этом случае прогиб следует находить по формуле

f=f₀(1+c(h/l)²)

,

где f₀— прогиб без учета деформаций сдвига, вычисляемый по (111.20); с — коэффициент, определяемый по табл. III. 7.

Прогибы элементов не должны превышать предель­ных, установленных СНиП для каждого вида конструк­ции. Предельные прогибы конструкций, выраженные в долях пролета, приведены в табл. III. 8.

Таблица II 1.8. Предельные прогибы

Элементы консрукций Прогибы в долях пролет

Балки междуэтажных перекрытий 1/250

Балки чердачных перекрытий 1/200

Покрытия (кроме ендов):

Прогоны, стропильные ноги 1/200

Балки консольные 1/150

Фермы, клееные балки (кроме консольных) 1/300

Плиты 1/250

Обрешетки, настилы 1/150

Несущие элементы ендов 1/400

Панели и элементы фахверка 1/250

Примечания: 1. При наличии штукатурки прогиб элементов перекрытий только от длительной временной нагрузки не должен превышать 1/350 пролета. 2. При наличии строительного подъема предельный прогиб клееных балок допускается увеличивать до 1/200 пролета.

Косой изгиб

Косым называется изгиб, при котором направление действия усилия не совпадает с направлением одной из главных осей поперечного сечения элемента (рис. III.7, а). В этом случае действующее усилие раскладывают по направлению главных осей сечения, затем на­ходят изгибающие моменты, действующие в этих плос­костях.

 

 

Нормальные напряжения находят по формуле

σ_и=М_х/W_{x +}M_y/W_y≤R_и

где М_х, My — изгибающие моменты, например при равномерно рас­пределенной нагрузке от q_x и q_y

Полный прогиб равен геометрической сумме проги­бов от усилий q_x и q_y:

f= √(f_x²+ f_y²)≤f_пред

Для прямоугольного сечения наименьшее значение площади поперечного сечения при косом изгибе будет при условиях расчета: по прочности, если h/b=ctga; по прогибу, если h/b = √ctg a.

Следует иметь в виду, что элемент, имеющий квад­ратное поперечное сечение, на косой изгиб не работает, так как он всегда деформируется в плоскости действия усилия. Однако формально напряжения в нем определя­ют по формуле косого изгиба:

σ_и=М_{х +}M_y/W≤R_и

 

 

При косом изгибе увеличиваются размеры прогонов прямоугольного сечения, поэтому надо конструктивными мерами исключать работу элементов на косой изгиб. Так, например, применительно к кровельному покрытию можно исключить работу прогонов на косой изгиб, вос­принимая скатную составляющую вспомогательными стропильными ногами, расположенными по прогонам и скрепленными с ними, а также соединенными друг с другом в коньке здания.

§ 3.6. Сжато-изгибаемые элементы

Сжато-изгибаемыми элементами называются такие, на которые действует изгибающий момент и централь­но приложенное продольное сжимающее усилие. Изги­бающий момент может создаваться: а) внецентренно приложенной сжимающей силой и тогда элемент назы­вают внецентренно сжатым или б) поперечной нагруз­кой. При расчете сжато-изгибаемых деревянных стерж­ней применяют теорию краевых напряжений, предложен­ную проф. д-ром техн. наук К- С. Завриевым. В соответст­вии с этой теорией несущая способность стержня счита­ется исчерпанной в тот момент, когда краевое напряжение сжатию делается равным расчетному сопротивлению.

Эта теория менее точная, чем теория устойчивости, однако она дает более простое решение и поэтому при­нята в действующих нормах проектирования СНиП П-25-80.

Так как жесткость стержня не является бесконечной, то он под влиянием изгибающего момента прогибается.

 

 

 

 

При этом центрально приложенная сжимающая сила теперь уже будет иметь эксцентриситет, равный дефор­мации стержня от момента, и таким образом создаст дополнительный момент (рис. 111:8). Появление допол­нительного момента от нормальной силы увеличит де­формацию стержня, что приведет к еще большему воз­растанию дополнительного момента. Такое наращивание дополнительного момента и прогибов будет некоторое время продолжаться, но затем затухнет.

Полный прогиб стержня и уравнение кривой неизве­стно, поэтому непосредственно по формуле краевых на­пряжений нельзя найти эти напряжения:

σ_c = N/F + M_q/W + Ny_mzxIW, (III.27)

где М_я — изгибающий момент от поперечной нагрузки; у — деформа­ция стержня.

Полный изгибающий момент стержня

M_x = M_q + Ny. (III.28)

Так как в двух написанных уравнениях есть три неиз­вестных σ_с, у, М_х, то следует найти еще одно уравнение. Всякую кривую можно аналитически выразить в виде ряда, который при этом должен быть быстро сходящим­ся и удовлетворять краевым значениям. Таким является тригонометрический ряд

y = f1 sin π x/l + f ₂ sin 2 π x/l + f_s sin Зπ х/1 +....

Геометрическая интерпретация ряда показана на рис. III.9. Как видно, fi есть максимальная ордината кривой каждого члена ряда.

При симметричной нагрузке первый член ряда дает точность, равную 95—97 %. Для упрощения решения бу­дем считать нагрузку симметричной. Тогда можно огра­ничиться только первым членом ряда

y = f₁sin( π x/l). (III.29)