Институт Финансового менеджмента

Институт Финансового менеджмента

Кафедра прикладной математики

 

Курсовой проект по прикладной математике

Вариант №28

 

Выполнила: студентка

Института Финансового менеджмента

Специальности менеджмент

II курс, 2 группа

Морозова Е. М.

Проверил: Малыхин В.И.

 

Москва 2001

 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

§.1. Оптимальное производственное планирование.

1.1. Линейная задача производственного планирования......................... 3

1.2. Двойственная задача линейного программирования........................ 5

1.3. Задача о «расшивке узких мест»........................................................ 7

1.4. Задача о комплектном плане............................................................... 8

1.5. Оптимальное распределение инвестиций......................................... 10

§.2. Анализ финансовых операций и инструментов.

2.1. Принятие решений в условиях неопределенности........................... 12

2.2. Анализ доходности и рискованности финансовых опера­ций......... 16

2.3. Задача формирования оптимальных портфелей ценных бумаг..... 17

2.4. Статистический анализ денежных потоков...................................... 19

§.3. Модели сотрудничества и конкуренции

3.1. Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одно­го товара...... 21

3.2. Кооперативная биматричная игра как модель сотрудниче­ства и конкуренции двух участников........................................................................................ 23

3.3 Матричная игра с нулевой суммой как модель сотрудни­чества и конкуренции................................................................................................................... 25

§.4. Социально-экономическая структура общества.

4.1. Модель распределения богатства в обществе................................. 28

4.2. Распределение общества по получаемому доходу........................ 30

Литература.................................................................................................... 31

 

 

§. 1. Оптимальное производственное планирование.

 

Двойственная задача линейного программирования.

В данной задаче требуется оценитьединицу каждого вида ресурса. Эта задача является двойственной задаче, решенной в пункте 1.1.

Задача, двойственная исходной строится следующим образом:

1) меняется тип экстремума целевой функции

2) коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи

3) свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции другой задачи

4) тип неравенства меняется

5) каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой и наоборот

Исходная задача ЛП:	Двойственная задача ЛП:
P(x1, x2, x3, x4) = 45x1 + 33х2 + 30x3 + 42x4 ® max (4) 4x1 + 5х2 + 2x3 + 3x4 £ 180 6x1 + 0х2 + 4x3 + x4 £ 150 (5) 0x1 + 7х2 + 6x3 + 5x4 £ 140 x1 — 4 ³ 0	S(у1, у2, у3) = 180y1 +150y2 +140y3 ® min 4y1+6y2+0y3³ 36 5y1+0y2+7y3³ 30 2y1+4y2+6y3³ 16 3y1+1y2+5y3³ 12 y1,y2,y3³0

 

Требуется найти вектор двойственных оценок (y₁,y₂,y₃),

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

S = 180y ₁ +150y ₂ + 140y ₃ ® min

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

4y₁+6y₂+0y₃³ 36

5y₁+0y₂+7y₃³ 30

2y₁+4y₂+6y₃³ 16

3y₁+1y₂+5y₃³ 12

y₁,y₂,y₃³0

Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой, который содержится в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи:

 

	Р			-30		-6
	Х2				-2/15	7/15	1/5	-2/15
	Х1				2/3	1/6		1/6
	Х7				104/15	26/15	-7/5	14/15
	Р

y ₁ = 6, y ₂ = 2, y ₃ = 0.

общая оценка всех ресурсов равна 1380.

Решение полученной задачи также можно найти с помощью второй основ­ной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х{х₁,х₂,х₃,х₄} и у{у₁,у₂,у₃} пары двойственных задач необходимо и доста­точно выполнение условий

X₁(4y₁+6y₂+0y₃–36) =0

X₂(5y₁+0y₂+7y₃–30) =0

X₃(2y₁+4y₂+6y₃ –16) =0

X₄(3y₁+1y₂+5y₃–12) =0

Y₁(4x₁ + 5х₂ + 2x₃ + 3x₄ –180) =0

Y₂(6x₁ + 0х₂ + 4x₃ + x₄ –150)=0

Y₃(0x₁ + 7х₂ + 6x₃ + 5x₄ –140)=0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи x₁ > 0,x₂ > 0. По­этому

4y₁+6y₂+0y₃= 36

5y₁+0y₂+7y₃= 30

Если же учесть, что третий ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у₃ = 0, то приходим к системе уравнения 5y ₁ =30

6y₂ =12, откуда следует y₁= 6, y₂=2.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: у₁ = 6, y₂ = 2, y₃ = 0,

причем общая оценка всех ресурсов равна 1380.

Модели сотрудничества и конкуренции.

Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Независимое поведение двух фирм

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x _i равны a _i *x _i (таким образом, a _i есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x₁+x₂. Следовательно, прибыль i- й фирмы равна

W_i(x₁,x₂)=x_i*(c-bx)-a_i*x_i=bx_i*(d_i-(x₁+x₂)),

где d_i=(с-a_i)/b.

Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.

Предположим, имеются данные по двум фирмам:

Выпуски фирм xi	Себестоимость выпуска ai	Характеристики рынка
				с	b

Тогда можем рассчитать следующие характеристики:

Рыночная цена на товар:

P = 64 — 5*9 = 18

Прибыли фирм:

W₁=6*18 — 5*6=78

W₂=3*18 — 4*3=42

Затраты фирм:

З₁=6*5=30

З₂=3*4=12

Стратегия Курно

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x₂. Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации своей прибыли:

dW₁/dx₁=b*(d₁-(x₁+x₂)-b*x₁=0, т.е. x₁=(d₁-x₂)/2.

Аналогично бы действовала вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме x₂=(d₂-x₁)/2.

Стратегия Курно заключается в следующем.

Будем предполагать, что производственные циклы фирм совпадают. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Далее на рис. изображены прямые-множества стратегий фирмы в ответ на известную стратегию другой фирмы. Предположим, что

d₁/2≤d₂≤2d₁,

тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами

x₁=(2d₁-d₂)/3, x₂=(2d₂-d₁)/3.

Эта точка называется точкой Курно. Последовательность стратегий фирм сходится к этой точке. Предполагаем, что a₁= a₂, тогда d₁=d₂=d, тогда точка Курно K (d/3,d/3), x_i=d/3, прибыли фирм W_i=bd²/9 цена p=c-2bd/3. x<=c/b<=d. Пусть а= 4,c = 64, b=5: d=(c-a)/b=60/5=12. Характеристика точки Курно: Х₁=X₂=12/3=4, P = 64 — (2*5*12)/3 = 24. Прибыли фирм: W = 5*12²/9 = 80

Стратегия Стакельберга.

Предположим, что одна из фирм сознатель­но раскроет свою стратегию. Пусть, например, первая фирма даст воз­можность второй узнать свой ход х₁, тогда вторая фирма ответит опти­мальным для нее образом: х ₂ * =(d-x ₁ )/2. Первая фирма будет теперь дей­ствовать, исходя именно из такого поведения второй фирмы. Но, прежде чем довести до сведения второй фирмы свой ход, первая просчи­тает этот свой ход, исходя из максимизации прибыли:

W ₁ (x ₁ )=bx ₁ (d-x ₁ -(d-x ₁ )/2)=bx ₁ (d-x ₁ )/2,

дW ₁ /дx ₁ =b(d-2х ₁ )/2=0→х ₁ ^s=d/2, откуда и получаем так называемую точку Стакельберга х ₁ ^s = d/2, x ₂ ^s = d/4. Прибыли фирм при этом равны W ₁ ^s=bd²/8 >W ₁ ^к, W ₂ ^s=bd²/16<W ₂ ^k, суммарная прибыль W^s=3bd₂/16<2bd²/9=W^к, т.е. прибыли первой фирмы больше, а прибыли второй и суммарная прибыль меньше, чем в точке Курно; цена товара равна p^s=c-3bd/4<p^k, и она меньше чем в точке Курно.

 

Выпуски Фирм xi	Себестоимость Выпуска ai	Характеристики рынка
				с	b

d=(c-a)/b=60/5=12 Точка Стакельберга: х₁^s = d/2, x₂ ^s =d/4 х₁^s = 6, x₂ ^s =3.

Прибыли фирм: W ₁ ^s = 5*12²/8 = 90 > 80, W ₂ ^s = 5*12²/16 = 45 < 80

Цена товара: p^s = 64 — 3*5*12/4=19 <24

Объединение двух фирм.

Пусть теперь фирмы объединятся (тем самым они образуют монополию своего товара на рынке), тогда суммарная прибыль равна W(x)=bx(d-x), максимум прибыли достигается при выпуске х*= d/2 < x^к = 2d/3 < x^s = 3d/4, х*=6 < 8 < 9, при этом прибыль и цена товара равны: W* = b*d²/4=180, p* = c — bd/2 > p^к > р^s p* = 64 — 5*12/2= 34 > 24 > 19

Результаты исследования сведены таблицу.

	X1	X2	X	W1	W2	W	P
Точка Курно
Точка Стакельберга
Монополия

 

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена товара самая низкая, а объем выпуска наибольший, а менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена това­ра наивысшая, выпуск самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.

 

3.2. Кооперативная биматричная игра как модель сотрудниче­ства и конкуренции двух участников.

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (a_ij,b_ij). В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы.

Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a, а Второй получает b. На этом партия игры закончилась. В следующей игре выбор игроков может быть другим. Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть CE - выпуклая оболочка множества точек (a_ij,b_ij), тогда любая точка CE есть выпуклая линейная комбинация этих точек, т.е. представляется как сумма

p₁₁*(a₁₁,b₁₁)+...+p₂₂*(a₂₂,b₂₂),

где p₁₁,...p₂₂ - неотрицательные числа, сумма которых равна 1, т.е. вероятности. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x≥a, y≥b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето.

Это множество есть северо-восточная граница множества CE. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть V_k - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек

множества Парето, у которых k- я координата не меньше V_k. Для

нахождения V_k надо решить 2 задачи ЛП:

V₁→max, a₁₁*х + a₁₂*(1 — х) ≥ V₁,

a₁₂*х + a₂₂*(1 — х) ≥ V₁ , 0 ≤ х ≤ 1.

V₂→max, a₁₁*y + a₁₂*(1 — y) ≥V₂,

a₁₂*y + a₂₂*(1 — y) ≥ V₂, 0 ≤ y ≤ 1.

Исходные данные:

 

Для исходных данных имеем:

1) для первого игрока:

Стратегия 1-го игрока (0,6; 0,4)

2) для второго игрока:

Стратегия 2-го игрока (0,5; 0,5)

Переговорное множество на рисунке — ломаная NCM.

 

Институт Финансового менеджмента