Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

Неотрицательная функция f (x, y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной непрерывной СВ

Z

Δ =

col(X, Y),

если

F (x, y) =

x ∫ -∞

(

y ∫ -∞

f (x, y) d y

)

d x = 1.

При этом двумерная СВ Z называется непрерывной.

1) f (x, y) ≥ 0 для всех x, y О R ¹. Это вытекает из определения 1.

2)

P(D) =

x 2 ∫ x 1

y 2 ∫ y 1

f (x, y) d y d x, где

 

D

Δ =

{ x 1 ≤ x ≤ x 2, y 1 ≤ y ≤ y 2}.

По свойству 7)F(x,y) и определению 1 имеем

P(D) = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1)

Δ =

 

Δ =

x 2 ∫ -∞

y 2 ∫ -∞

f (x, y) d y d x -

x 2 ∫ -∞

y 1 ∫ -∞

f (x, y) d y d x -

x 1 ∫ -∞

y 2 ∫ -∞

f (x, y) d y d x +

 

+

x 1 ∫ -∞

y 1 ∫ -∞

f (x, y) d y d x =

x 2 ∫ x 1

y 2 ∫ y 1

f (x, y) d y d x.

3)

P(D) =

∫ ∫ D

f (x, y) d x d y,

где D - произвольная область на плоскости R ². Доказательство проведем для непрерывной f (x, y). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольник

Δ D

Δ =

{ x ≤ X ≤ x + Δ x, y ≤ Y ≤ y + Δ y }.

Согласно свойству 2)f(x,y) можно записать

P(Δ D) =

x +Δ x ∫ x

y +Δ y ∫ y

f (x, y) d x d y =

|

по теореме о среднем значении

|

≈ f (x, y) Δ y Δ x.

Таким образом, элемент вероятности f (x, y)d x d y с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен вероятности попадания двумерной СВ Z = col(X, Y) в бесконечно малый прямоугольник, прилегающий к точке (x, y). Так как произвольную область D М R ² можно представить с любой степенью точности в виде объединения конечного числа непересекающихся бесконечно малых прямоугольников Δ D, тоиз аксиомы A3 (см. замечание Л3.Р2.З2) следует формула для вероятности попадания СВ (X, Y) в D.

4)

+∞ ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d y d x = 1,

поскольку

+∞ ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d y d x

Δ =

F (+∞,+∞)

5)F(x,y) =

1.

5)

FX (x) =

x ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

f (t, y) d y d t, FY (y) =

y ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d x d y;,

где F_X (x), F_Y (y) - функции распределения СВ X и Y. Например,

FX (x)

4)F(x,y) =

F (x,+∞)

Δ =

x ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d y d x.

Для F_Y (y) утверждение доказывается аналогично.

6)

fX (x) =

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d y, fY (y) =

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d x.

Это вытекает из свойства 5) и определения Л4.Р3.О2.

7) Пусть СВ

V

Δ =

φ (X, Y),

где φ (x, y) - заданная скалярная функция аргументов x, y О R ¹, такая что

+∞ ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

| φ (x, y)| f (x, y) d x d y < +∞.

Тогда можно показать, что

M[ V ] =

+∞ ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

φ (x, y) f (x, y) d x d y.

8) Для независимости непрерывных СВ X и Y необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

f (x, y) = f_X (x) f_Y (y)

во всех точках непрерывности этих функций. Действительно, по определению плотности

y ∫ -∞

x ∫ -∞

f (x, y) d x d y = F (x, y) =

||

в силу незави- симости

||

= F X (x)F Y (y) =

 

Л4.Р3.О2 =

x ∫ -∞

fX (x) d x

y ∫ -∞

fY (y) d y =

x ∫ -∞

y ∫ -∞

fX (x)fY(y) d x d y.

Откуда следует свойство 8).

Замечание 2. Свойство 6)f(x,y) позволяет по плотности вероятности двумерной СВ Z найти плотность вероятности СВ X и Y.

9) Если непрерывные СВ X и Y независимы, то справедлива формула свертки плотностей, т.е. плотность распределения СВ

V

Δ =

X + Y

имеет вид

fV (v) =

+∞ ∫ -∞

fX (x) fY (v-x) d x,

где f_X (x), f_Y (y) -- плотность распределения СВ X и Y. Пусть

D

Δ =

{ x, y: x + y ≤ v }.

Тогда

FV (v)

Δ =

P{ X + Y ≤ v }

2)f(x,y) =

∫ ∫ D

f (x, y) d x d y

8)f(x,y) =

 

=

∫ ∫ D

fX (x), fY (y) d x d y =

+∞ ∫ -∞

fX (x) (

v-x ∫ -∞

fY (y) d y) d x =

||

y

Δ =

t - x

||

=

 

=

+∞ ∫ -∞

fX (x) (

v ∫ -∞

fY (t-x) d t) d x =

v ∫ -∞

+∞ ∫ -∞

fX (x) fY (t-x) d x d t.

Понятие независимости для двумерных случайных величин.

Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение

Условные распределения двумерной случайной величины.

Плотность двумерной нормально распределенной СВ Z при

__________ √ c 11 c 22 - c 122 > 0

определяется формулой

f (x, y) =

__________ √ c 11 c 22 - c 122 2 π

exp{-

1

[ c 11(x - a)2 + 2 c12(x - a)(y - b) + c 22(y - b)2]}.