Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

 

Свойства определенного интеграла

 

1) Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [ а, b ]. Тогда функции f(x) + g(x) также интегрируемы на этом отрезке, причем

.

2) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ а, b ], то функция kf(x) (где k – постоянная) также интегрируема на этом отрезке, причём

.

3) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ а, c ] и [ с, b ], то функция f(x) интегрируема и на отрезке [ а, b ], причём

.

4) Интеграл по симметричному интервалу:

a) f(x) – интегрируемая на интервале [- а, а ] функция, причём f(x) – чётная на нём, тогда

.

b) f(x) – интегрируемая на интервале [- а, а ] функция, причём f(x) – нечётная, тогда

.

 

Оценки интервалов

 

5) Если функция f(x) интегрируема на интервале [ а, b ] и f(x) > 0 для всех x из [ а, b ], то интеграл от функции f(x) по этому интервалу неотрицателен, т.е.

.

6) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на интервале [ а, b ] и f(x) < g(x) для всех x из [ а, b], то

.

7) Если f(x) интегрируема на интервале [ а, b ], где а < b, и если во всём этом интервале имеет место неравенство m < f(x) < M, где M и m – наибольшее и наименьшее значения функции f(x) в интервале [ а, b ], то

b

m(b – а) < ò f(x) d x < M(b – а)

a

 

Среднее значение функции на отрезке

 

8) Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке x = c отрезка интегрирования [ а, b ] на длину отрезка (b – а):

, или

 

Значение f(c), определяемое по этой формуле, называется средним значением функции f(x) в отрезке [ а, b ].

 

Формула Ньютона-Лейбница.

 

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

 

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интеграла:

, где F'(x) = f(x) (1.2)

Эта формула носит название формулы Ньютона-Лейбница.

 

Способы вычисления определенных интегралов

 

1) Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона- Лейбница.

Пример 1.10. Вычислить .

Решение. =

 

2) Вычисление определенных интегралов с помощью замены переменной.

Пример 1.11. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку t = 3 + x ², отсюда d t = 2 x d x.

= 0,5 = 1/3 t ^3/2 = 1/3 (8 – 3 ) = 8/3 – .

 

3) Вычисление определенных интегралов с помощью формулы интегрирования по частям

Пример 1.12. Вычислить интеграл .

Решение. Положим u = ln x, отсюда d u = d(ln x) = (1/ x)d x; d v = d x; v = x и по формуле (1.1) находим

= x ln x – = (x ·ln(x) – x) = (x (ln(x) – 1) = (e(ln(e) – 1) – (1·0 – 1) = (e – 1) + 1 = e.

 

Применение определенного интеграла

 

Вычисление площадей плоских фигур

 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], и f(x) > 0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f(x), x = a, x = b, равна:

()

Если f(x) ≤ 0, то площадь соответсвующей кривой определяется формулой:

()

Если кривая y = f(x) пересекает ось 0x, то отрезок [ a, b ] нужно разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знак, и общая площадь будет равна сумме площадей частей.

 

Пример 1.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x ² и y = 3 x.

Решение. Искомая площадь представляет собой разность между площадью прямоугольника, ограниченного сверху прямой y = 3 x, и площадью криволинейного треугольника, ограниченного сверху участком параболы (рис. …):

S = .

Абсциссу точки b пересечения графиков находим из уравнения x ² = 3 x:

x ² – 3x = 0, x (x – 3) = 0, x ₁ = 0, x ₂ = 3. Откуда b = 3. Следовательно,

 

Построение графика функции

 

Несобственные интегралы

 

Несобственными называются определенные интегралы, у которых либо пределы интегрирования a и b не являются конечными, либо подынтегральная функция f(x) на отрезке [ a; b ] не является непрерывной. Например, Если этот интеграл имеет конечный предел, то он называется несобственным сходящимся интегралом и обозначается:

.

Значение интеграла определяется по формуле Ньютона- Лейбница:

. (1.3)