Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-13 | 560 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод непосредственного интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и использовании свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Метод замены переменной (подстановки)
Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к табличному виду. В интеграле сделаем подстановку , где функция имеет непрерывную производную. Тогда: на основании независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента: – формула замены переменных в неопределенном интеграле. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда , где .
Метод интегрирования по частям
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv ( это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.
Если u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, тогда d (uv)=vdu+udv, откуда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя последнее выражение, получаем: – формула интегрирования по частям, которая применяется в тех случаях, если интеграл в правой части более прост, чем исходный. Эта формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Решение задач
Пример 7.1. Найти интегралы:
1) . 2) .
Решение. 1) Применяя свойства 4 и 5 неопределенного интеграла, а также алгебраические преобразования сведем интеграл к трем табличным интегралам:
|
;
2) Учитывая, что и используя основные формулы интегрирования, имеем: .
Пример 7.3. Найти интегралы:
1) . 2) .
Решение. 1) Введем замену: пусть x=4t, тогда dx=d(4t)=4dt. Следовательно, можем записать:
.
2) Положим . Тогда , следовательно . Можем записать:
.
Пример 7.4. Найти интеграл .
Решение. Интеграл будем искать методом интегрирования по частям. Положим , ; тогда , . Применяем формулу интегрирования по частям: .
Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти , применим ещё раз интегрирование по частям. Пусть , ; тогда , и можно записать
.
Пример 7.5. Найти интегралы:
1) .
2) .
3) .
4 ;
5) .
Решение: 1). Применим метод непосредственного интегрирования:
2). Воспользуемся формулой сокращенного умножения для преобразования подынтегральной функции и применим метод непосредственного интегрирования:
.
3). Этот интеграл можно найти с помощью замены переменной. Полагая , имеем , т.е. . Отсюда получим
.
4). Введем подстановку:
5). Применим метод интегрирования по частям. Пусть ; тогда . Используя формулу интегрирования по частям, получим .
Пример 7.6. Найти закон изменения скорости тела, если уравнение ускорения имеет вид: и, если известно, что скорость тела через 2 секунды была равна 10 .
Решение: Так как ускорение движения тела есть первая производная скорости движения по времени, то имеет место формула . Следовательно, можно записать . Проинтегрировав данное соотношение, получим . Тогда .
Исходя из начальных условий: при , найдем С:
Þ .
Итак, уравнение скорости движения тела .
Самостоятельная работа студентов на занятии.
Найти интегралы
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
Задание на дом.
6.1. Практика:
6.1.1. Найти интегралы:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
Теория.
1. Лекция по теме «Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач».
2. Занятие 5 данного методического пособия.
3. Павлушков И.В. и другие стр. 157-177.
|
Занятие 5. Определенный интеграл и его основные свойства. Приложения определенного интеграла.
Актуальность темы: понятие определенного интеграла широко используется в математике и других науках для вычисления площадей плоских фигур, работы переменной силы и т.п.
Цель занятия: освоить методы вычисления определенного интеграла, решения прикладных задач.
Целевые задачи:
знать: понятие определенного интеграла, свойства определенного интеграл, формулу Ньютона-Лейбница, определенный интеграл с переменным верхним пределом;
уметь: вычислять определенный интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница; применять методы интегрирования для вычисления определенного интеграла, решения прикладных задач.
Краткие сведения из теоретического курса.
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b], a<b. Выполним следующие действия: разобьем отрезок [a, b] точками а=х0,х1…,хn=b (х0<х1<…<хn) на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2],… [xn-1, xn]; в каждом частичном отрезке [xi-1, xi] возьмем произвольную точку сi и вычислим f(ci); умножим f(ci) на длину соответствующего частичного отрезка Dxi=xi–xi-1: f(ci)Dxi и составим сумму всех таких произведений. Сумма всех таких произведений называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b]. Найдем предел интегральной суммы, когда n® ∞ или maxDxi®0.
Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора в них, то число I называют определенным интегралом и обозначается .
Таким образом, .
Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – подынтегральной функцией, отрезок [a, b] – областью (отрезком) интегрирования.
Функция у= f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!