Определение условной вероятности. Теорема умножения вероятностей, доказательство в общей формулировке.

Условная вероятность

 

Условная вероятность Р(А|В) события А относительно события В - это вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения вероятностей.

 

Теорема умножения вероятностей (общая формулировка).

Доказательство

Воспользуемся методом математической индукции.

из определения Р(А₁×А₂)=Р(А₁)×Р(А₂|А₁).

Предполагаем, что теорема верна для (n-1) событий; докажем, что она верна для n событий.

Найдем Р(А₁×А₂×А₃×...×А_n)=P((A₁×A₂×A₃×...×A_n-1)×A_n) = =P(A₁×A₂×A₃×...×A_n-1)×P(A_n|A₁×A₂×A₃×...×A_n-1) = / попредположению /= P(A₁)×P(A₂|A₁)× P(A₃|A₁×A₂) ×..×P(A_n-1| A₁×A₂×A₃×A_n-2)×P(A_n|A₁×A₂×A₃×...×A_n-1).g

Пример 8:

Два студента выполняют независимо друг от друга задание. Вероятность того, что задание будет выполнено первым студентом 0,6;

для второго студента эта вероятность равна 0,8.

Найти вероятность того, что

· оба студента выполнят задание;

· только один из них выполнит задание;

· хотя бы один из них выполнит задание.

Решение.

События: А – задание выполнит первый студент,

В- задание выполнит второй студент.

По условию Р(А) = р₁ = 0,6; Р(В)=р₂ = 0,8; следовательно, Р() = 1-p₁ = q₁ = 1-0,6 = 0,4; P() = 1-p₂ = q₂ = 1-0,8 = 0,2.

· Р(А×В) = /события А и В - независимые события / = Р(А)×Р(В) = р₁×р₂ =0,6×0,8 = 0,48.

·Р(А× + ×B) = / A× и ×B - несовместные события /= Р(А×) + Р(×В) = Р(А)×Р() +

Р()×Р(В) = p₁×q₂+q₁×p₂ = 0,6×0,2 + 0,4×0,8 = 0,44.

·P(A+B)=/ А и В-совместные события /= Р(А)+Р(В)-Р(А×В)=0,6+0,8-0,48=0,92

или т.к. А+В и противоположные события, то

Р(А+В)=1-Р()= 1 - Р()×Р() = 1-q₁×q₂ = 1-0,4×0,2 = 1-0,08 = 0,92.4

Пример 7:

Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов. Какова вероятность того, что он ответит на два выбранных наудачу вопроса?

Решение.

Рассмотрим события:

А- студент знает ответ на первый вопрос,

В- студент знает ответ на второй вопрос.

Найдем Р(А×В).

Р(А×В) = Р(А)×Р(В|А) =

 

Полная группа событий -несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно (и только ровно одно) из них. называются гипотезами.

7. Полная группа событий. Вывод формулы полной вероятности.

 

 

Теорема (формула полной вероятности)

Пусть в результате опыта может появиться какое-либо из несовместных событий Н₁,Н₂,...,Н_n, образующих полную группу. Событие А может появиться только вместе с одним из этих событий.

Если известны вероятности гипотез Р(Н_i) и условные вероятности Р(А|Н_i), где i =, то

 

 

Доказательство.

Р(А)=Р(А× = =Р(А×(Н₁+Н₂+...+Н_n)=P(A×H₁+A×H₂+...+A×H_n)=

/события A×H_i иA×H_j, где несовместные события, т.к. (A×H_i)×(A×H_j)=A×H_i×H_j=A×(H_i×H_j)=A× Ø = Ø

= Р (А × Н ₁)+ Р (А × Н ₂)+...+ Р (А × Н_n)=

= P (H ₁)× P (A | H ₁)+ P (H ₂)× P (A | H ₂)+...+ P (H_n)×P(A | H_n).

 

Пример:

На стройку поступают блоки с трех баз, причем 50% с первой базы,30% со второй базы, остальные с третьей базы. Вероятность того, что блок c первой базы бракованный - 0,09; со второй - 0,1; с третьей - 0,08. Найти вероятность того, что взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.

Решение.

Рассмотрим гипотезы:

Н₁ - взятый наудачу блок поступил с первой базы,

Н₂ - взятый наудачу блок поступил со второй базы,

Н₃ - взятый наудачу блок поступил с третьей базы.

Событие А - взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.

По условию Р(Н₁)=50/100=0,5; Р(Н₂)=30/100=0,3; Р(Н₃)=(100-50-30)/100 = 0,2.Р(А|Н₁)=0,09;

Р(А|Н₂)=0,1; Р(А|Н₃)=0,08.

Следовательно, по формуле полной вероятности

Р(А)=0,5×0,09+0,3×0,1+0,2×0,08=0,091.

Вопрос 11.

Независимые испытания. Полиномиальная схема.

Производится n независимых испытаний, в каждом из которых события А₁, …, А_k наступают с вероятностями р₁,…, р_k (р₁ + … + р_k = 1).

Найти вероятность P (n₁, …, n_k) того, что в результате эксперимента событие А₁ наступит n₁ раз, …, событие А_k наступит n_k раз.

 

Пример. Задача о байдарке.

При прохождении порога байдарка

- не получает повреждений с вероятностью 0,7;

- получает серьезное повреждение с вероятностью 0,2;

- полностью ломается с вероятностью 0,1.

Два серьезных повреждения приводят к поломке. Найти вероятность того, что байдарка преодолеет 10 порогов (т.е. не будет полностью сломана после 10 порогов).

Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний:

Число m₀ наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события

по крайней мере не меньше вероятностей других событий при любом m.

 

Если m ₀ – наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р

np - q < m ₀ < np + p.

 

Найти наивероятнейшее число отказавших элементов, если каждый из пяти независимо работающих элементов отказывает с вероятностью 0,4.

Решение.

Так как n=5, p=0,4, q=0,6, то 5×0,4-0,6£ m₀ < 5×0,4+0,4

Или 1,4 < m₀ < 2,4. Следовательно, m₀=2

8. Теорема (формула Байеса) (теорема переоценки гипотез)

Пусть в условиях предыдущей теоремы (формула полной вероятности) событие А наступило и мы нашли вероятность Р(А). Спросим, как изменились вероятности гипотез в связи с появлением события А, т.е. найдем Р(Н_i|А), где i=1,2,...,n.

По аксиоме:Р(А×Н_i)=P(A)×P(H_i|A)=P(H_i)×P(A|H_i), откуда

 

 

В предыдущем примере событие А наступило, т.е. взятый наудачу на стройке блок оказался бракованным. Определить вероятность того, что этот блок поступил со второй базы.

На стройку поступают блоки с трех баз, причем 50% с первой базы,30% со второй базы, остальные с третьей базы. Вероятность того, что блок c первой базы бракованный - 0,09; со второй - 0,1; с третьей - 0,08. Найти вероятность того, что взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.

Решение.

Рассмотрим гипотезы:

Н₁ - взятый наудачу блок поступил с первой базы,

Н₂ - взятый наудачу блок поступил со второй базы,

Н₃ - взятый наудачу блок поступил с третьей базы.

Событие А - взятый наудачу на стройке блок окажется бракованным.

 

Решение.

Р(Н₂|А) =