Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-13 | 267 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена (или опровергнута) из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.
Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата "Начал" Евклида является поучительным тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых углов в последствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее других "очевидных" утверждений). Возник вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых. Тем более, см. замечание к аксиоме параллельности в §2, что как бы "половина доказательства" аксиомы параллельности уже была известна. Более двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других "более очевидных" утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких-либо "очевидных" утверждений, аксиом и постулатов.
Сформулируем назревший вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность). Такое условие существует и для совместной системы аксиом формируется следующим образом в терминах реализаций.
Теорема. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Утверждение А не зависит от системы аксиом Т, если вместе с некоторой реализацией R1 (Т, А) системы Т и утверждения А существует некоторая другая реализация R2(T, ùА ) системы Т и отрицания утверждения ùА .
Доказательство. Пусть существует реализация R2(T, ùA) системы аксиом Т и отрицания утверждения - ùА, и пусть Т А. Тогда реализация R2(T, ùA) содержит вместе со свойством ùА и его отрицание А=ù (ùА), что несовместимо с понятием реализации (см. п.6.3, §6, если в реализации выполняется некоторое свойство, то не может выполнятся одновременно и его отрицание). Следовательно, предположение Т А (о том, что А следует из Т) неверно. Точно так же можно проверить, что наличие реализации R1(Т,А) не позволяет опровергнуть утверждение А. Действительно, пусть Т ˥А, то есть, имеет место опровержение утверждения А. Тогда реализация R1(Т, А) вместе со свойством А обладает и свойством ùА, что невозможно по определению реализации. Теорема доказана.
В качестве применения этого достаточного условия докажем независимость аксиомы параллельности от всех остальных 14 аксиом планиметрии.
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!