Свойство цилиндрических поверхностей.

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ, направляющей является гиперболас полуосями a и b (рис. 2).

Параболический цилиндр. Уравнение

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ, направляющей является парабола (рис. 3).

Вопрос 20. Линейные пространства.Основныепонятия.Теорема о Базисе.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x (x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α· x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β · x) = (α·β) · x − умножнение на число ассоциативно:;

1 · x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α· x + α· y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β )· x = α· x + β · x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Определение: Если в пространстве Lимеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Определение: Если только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

Определение: Если в линейном пространстве Lесть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство Lназывается n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

Утверждение: все максимально линейно независимые системы векторов имеют одинаковое количество векторов.

Доказательство (теорема о базисе):

Пусть есть 2-е линейно независимые системы векторов, с разным количеством векторов, тогда любой вектор линейного пространства выражается линейно через вектора этих систем.

, где

Система s-ок:

имеет векторов больше чем Sи поэтому линейно зависима, следовательно существует набор скаляров для которого равна нулю.

Домножим строчки на этот набор скаляров:

слева положим линейную комбинацию системы векторов А, где не все коэффициенты равны нулю. А справа раскрыв скобки получим следующий коэффициент при :

Это i-ая координата выбранной линейной комбинации векторов системы B и она равна нулю. Значит система векторовт А линейно зависима. Поэтому возникает противоречие.

Вопрос 21. Матрица перехода от Базиса к Базису.

L -n- мерное линейное пространство с базисом , ,…, . Другой базис задан векторами , .. . Тогда они также являются векторами этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов , ,…, :

= a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

= a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

……………………………….

= a_n1 + a_n2 +…+ a_nn

Тогда матрица = называется матрицей перехода от базиса к базису.

Вопрос 22. Линейный оператор и его матрица.

Линейным оператором в линейном пространстве Lназывается всякое отображение A:L=>Lпространства Lв себя, обладающее свойствами:

A(tx)=tAx, A(x+y)=Ax+Ay

Пусть A– линейный оператор в конечномерном пространстве L_nи B = (l₁,….,l_n) –некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Ae_k, k=1, …, n, по базису B:

Ae_k= a_1ke₁+…..+a_nke_n, k=1,….,n.

Тогда матрица

A=

Называется матрицей оператора Aв базисе B. Матрицу оператора будем иногда обозначать также символом [A].

Пусть Aи A’ – матрицы оператора Aв базисах Bи B’, а T = T_B->B’ – матриа перехода от базиса Bк базису B’. Тогда формула преобразования матрицы оператора пи преобразовании базиса имеет вид

A’=T^-1AT.

Практическая часть:

Правило для решения: Работа с операторами не проводится, проводится только с их матрицами.

Вопрос 23. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A .

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, …,l_n уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

!!!ДОКАЗАТЬ Ax=Lx!!!

Вопрос 24.Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду(Алгоритм, с примером).

!!!!СДЕЛАТЬ!!!

Вопрос 25.Множество операций над множеством.

Множество – аксиоматическое понятие, неопределяемое.

Множество M состоящее из нескольких количественных элементов принято записывать:M ={ x₁,x₂…,x_n}

Пустое множество () – множество в котором ничего нет.

Множество u (универсом) – это множество всех элементов.