Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-12 | 196 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ВОПРОС 13. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функция u=f(x1,..., xm) называется дифференцируемой в точке
M(x1,..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
f(x1+∆x1,..., xm+∆xm) – f(x1,..., xm) ≡
≡ ∆u = A1∆x1 + A2∆x2 +... + Am∆xm + α1∆x1 +... + αm∆xm
где А1, А2,..., Аm – некоторое, не зависящие от ∆x1,..., ∆xm, числа,
а α1, α2,..., αm – бесконечно малые при ∆x1→0,..., ∆xm→0 функции, равные 0 при
∆x1=∆x2=... =∆xm=0.
Если положить ρ = + + ∆ ∆ x x
1 m
2 2
..., то условие дифференцируемости может быть
записано в виде:
∆u = A1∆x1 + A2∆x2 +... + Am∆xm +)(ρ) (1)
Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции предста-
вимо в виде линейной части (по ∆x1,..., ∆xm) и членов более высокого порядка (по ∆x1,...,
∆xm или ρ).
Теорема 1. Если функция u=f(x1,..., xm) дифференцируема в точке
M(x1,..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем аргумен-
там, причем ∂u\∂xi=Ai, где Аi определяются из условия дифференцируемости.
ВОПРОС 14. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
к поверхности S в точке М- плоскость, проходящая через точку Мп характеризующаяся тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки М' поверхности Sпри произвольном стремлении М' к Мявляется бесконечно малым по сравнению с расстоянием ММ'. Если поверхность Sзадана уравнением z=f (x, у), то уравнение К. п. в точке (х 0, у 0, z0), где zo= f' (zo, y0), имеет вид:
в том и только том случае, когда функция f(x, у)имеет в точке (х 0, у 0)полный дифференциал. В этом случае Аи Bсуть значения частных производных df/dx и df/dy в точке (x0, у 0).
ВОПРОС 17. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, НЕОБХОДИМЫЕ, ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЕГО СУЩЕСТВОВАНИЯ.
|
Локальный это тоже самое что и наименьшее и наибольшее значении функции.
Наибольшее или наименьшее знчение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1) Найти производную функции
2) Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.
3) Найти значения функции в критических точках и на конфах отрезкаи выбрать из них наибольшее и наименьшее.
БИЛЕТ 21. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Пусть ряд ∑An = a1+a2+…+An+… будет положительным, т.е. an>0 (n=1,2,3,...)
Тогда очевидно, An+1=An+an+1>An, т.е. Аn оказывается возрастающей. На основании
теоремы о пределе монотонной последовательности, мы непосредственно приходит к сле-
дующему основному в теории положительных рядов предложению!
Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следова-
тельно, ряд – сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконеч-
ной (а ряд – расходящимся) в противном случае.
БИЛЕТ 23. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА.
Рассмотрим произвольный знакопеременный ряд
U1 + U2 +... + Un +..., (8.1)
т. е. ряд с членами произвольных знаков. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
величин членов ряда (8.1):
|U1| + |U2| +... + |Un| +.... (8.2)
Теорема.
Если сходится ряд (8.2), то сходится и ряд (8.1).
Если ряд (8.1) сходится вместе с рядом (8.2), составленным из абсолютных величин
его членов, то про ряд (8.1) говорят, что он абсолютно сходится.
Если ряд (8.1) сходится и ряд (8.2) расходится, то ряд (8.1) называют условно сходящимся.
Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.
Теорема.
Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой
перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка его членов.
|
Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, или символ + ∞ или
– ∞, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности рав-
ной А (или + ∞ или – ∞). Более того, можно так переставить члены условно сходящегося
ряда, что ряд, полученный после перестановки членов, окажется расходящимся.
Определение: ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение: Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Следствие.
Если степенной ряд расходится при некотором значении х = х1, то он расходится и
при всех значениях |x|>|x1|.
Любой степенной ряд сходится при значении х=0. Есть степенные ряды, которые
сходятся только при х=0 и расходятся при остальных значениях х.
Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд
может сходится при всех х.
Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположе-
ны от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно,
что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале
координат.
Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как
точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R,
что для всех х, по модулю меньших R (|x|<R), ряд абсолютно сходится, а для всех х, по
модулю больших R (|x|>R), ряд расходится.
ВОПРОС1.ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
1.Функция Ф(х) называется первообразной для функции ф(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равентсво Ф’(x)=f(x).
2.Совокупность всех первообразных для функции ф(х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции ф(х) и обозначается ∫f(x)dx = F(x)+C, где С – произвольная постоянная.
В записи ∫f(x)dx f(x) подыинтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением. Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрир. И дифференцирования взаимно обратны.
3.Основные свойства неопределенного интеграла:
|
1. (∫f(x)dx)’ = f(x)
2. d(∫f(x)dx) = f(x)dx
3. ∫dF(x) = F(x)+C
4. ∫αf(x)dx = α∫f(x)dx,где альфа некоторое число
5. ∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx.
ВОПРОС 2.ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
1.Метод замены переменной.
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной(или метод подстановки), описываемый след формулой:
∫f(x)dx=∫f(φ(t)φ’(t)dt,
Где х = - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. По опр. Дифференциала подынтеграл. Выражения левой и правой частей равенства совпадают. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл даже до табличных.
2.Метод интегрирования по частям.
Пусть u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала
D(uv)=vdu + udvИлиUdv=d(uv) _ vdu
Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая, получаем
∫udv = uv - ∫vdu
Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подинтеграл. Выражения искомого интеграла на два сомножителя(и и дв). При переходе к правой части первый из них дифференцируется, второй интегрируется.
ВОПРОС 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.
Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.
Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.
Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,
где
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) .
Каким образом они интегрируются:
1)
2)
3)
4) Пусть правильная:
Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
|
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
Пример 1.
Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:
Пример2.
Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:
Пример 3.
Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:
Пример 4.
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:
1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.
2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.
3. комбинированный метод.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!