Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-12 | 287 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
«Кратные, криволинейные интегралы».
Вопросы для самостоятельной работы
1. Что называется двойным интегралом от функции f(x,у) по плоской области Д? Назовите геометрический смысл двойного интеграла.
2. Укажите правила расстановки пределов интегрирования при переходе от двойного интеграла к двукратному.
3. Укажите способ вычисления двойного интеграла, если область интегрирования есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат.
4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
5. Повторите построение плоскостей, цилиндров и параболоидов. В чем состоит «метод параллельных сечений»? Сформулируйте понятие образующей и направляющей цилиндрической поверхности.
6. Вычисление объема тела с помощью двойного и тройного интеграла.
7. Вычисление криволинейного интеграла II рода
8. Зависимость значения криволинейного интеграла от направления обхода контура интегрирования.
9. Укажите условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
10. Укажите правило нахождения функции двух переменных по ее полному дифференциалу.
Задача 1. Вычислить , если область Д ограничена прямыми x=1, x=2, y=0, y=2.
Решение . Известно, что, если область интегрирования Д есть прямоугольник со сторонами x=a, x=b, y=c, y=d, то вычислением двойного интеграла производится по формуле
(1)
или
(2)
Изобразим данную область Д. По формуле (1) имеем
Внутренний интеграл вычисляем, считая x постоянной величиной:
.
Полученную функцию интегрируем на отрезке [1;2] оси OX:
.
Задача 2 Дан интеграл .
Требуется: 1) построить на плоскости XOУ область интегрирования; 2) изменить порядок интегрирования; 3) вычислить площадь области Д при заданном и измененном порядках интегрирования.
|
Решение. 1) Построим область интегрирования Д, используя известные пределы данного двукратного интеграла. Так как внутренний интеграл взят по y, то его пределы получены из уравнений , которые определяют соответственно нижнюю и верхнюю границы области Д. Слева и справа она ограничена прямыми x=0, и x=4. Найдем координаты точки A пересечения кривых:
Известно, что двойной интеграл вычисляется по формуле
(2),
если область Д ограничена слева линией X=ψ1(y), справа - линией X=ψ2(y), сверху и снизу прямыми Y=d и Y=с, причем всякая прямая, параллельная оси OX, пересекает границу области Д не более чем в двух точках (K и L). Поэтому при изменении порядка интегрирования данный двойной интеграл примет следующий вид двукратного интеграла:
Определим в нем пределы по Y и по X, используя рисунок. Сначала выразим переменную X из уравнения : получим уравнение (левая граница области Д). Далее из уравнения получим уравнение (правая граница области Д). Следовательно, область Д определяется неравенствами:
Тогда .
3) Площадь плоской области Д определяется по формуле
(3)
Тогда при заданном порядке интегрирования получим:
Определим площадь области Д при измененном порядке интегрирования:
.
Задача 3. Построить плоскость 2x+3y+6z=0.
Решение . Для построения плоскости по уравнению достаточно построить три ее точки, не лежащие на одной прямой. Две координаты точек берут произвольно, а третью из уравнения. Легче всего определить точки пересечения плоскости с осями координат. Составим таблицу значений x, y, z для трех точек:
xx | y y | z z |
Строим точки A(0;0;2), B(6;0;0), C(0;4;0) и соединяем их прямыми линиями.
№ пп/п | Каноническое уравнение | Схематичес-кое изображение | Название поверх-ности |
Эллипсоид (в частности, эллипсоид вращения и сфера) | |||
Однополосный гиперболоид | |||
Двуполосный гиперболоид | |||
Конус второго порядка |
|
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!