Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-12 | 265 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим уравнения вида
— постоянные
Если , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.
1)
Вводя новые переменные и по формулам , приведем уравнение к виду
Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений
получаем однородное уравнение найдя его общий интеграл и заменив , получаем общий интеграл уравнения
и уравнение имеет вид
Подстановка приводит его к уравнению с разделяющими переменными.
Пример 4.2. Решить уравнение
Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид
Разделяя, переменные получаем
,
Линейные уравнения первого порядка.
Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной
. (1)
Решение линейного уравнения ищем в виде
Подставляя в (1), после преобразования получаем
Выберем v такой чтобы найдём , и следовательно и решение
Пример 5.1. Решить задачу Коши
,
Решение. Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде , имеем . Подставляя выражения для и в данное уравнение, будем иметь
, , ,
Для определения u имеем уравнение
,
, ,
Найдём C: , ;
Итак, решением поставленной задачи Коши будет
.
6. Уравнение Бернулли имеет вид , где
с помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 6.1. Решить уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на
Положим , тогда , подставим в уравнение
,
|
, , ,
, ,
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции т.е.
Для того чтобы (1) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D изменения переменных x и y выполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид
Пример 7.1. Решить уравнение
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах
, , так что
То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и , , поэтому , проинтегрируем
где пока неопределённая функция.
Частная производная найденной функции должна равняться
,
,
Общий интеграл имеет вид
Интегрирующий множитель
В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал .
Такая функция называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя или
(2)
Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.
1. Если , то и уравнение (2) примет вид
(3)
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.
Пример 8.1. Решить уравнения
Решение. , , имеем , следовательно , ,
Уравнение в полных дифференциалах
Его можно представить в виде , откуда и общий интеграл данного уравнения
2. Аналогично, если есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от y.
Интеграл уравнения (1)
Пример 8.1. Решить уравнение
Решение. Положим , тогда
т.к. , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии
Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
,
, ,
Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение
|
2. Уравнение вида
(2)
не содержит явным образом независимой переменной x.
Для его решения снова положим
(3)
но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда
Подставляя выражение и в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка
Интегрируя его, найдём p, как функцию y и производной постоянной :
Подставляя это значение в соотношение (3), получим
Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения
Пример 8.2. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Пусть , тогда
Возвратимся к переменной y:
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!