Краснопевцев Евгений Александрович

 

Основная тема курса

 

Ортонормированные базисы функций

Практическая значимость курса –

разложение функций по ортонормированному базису упрощает решение физических и технических задач,

результаты получают наглядный физический смысл.

 

Результаты применяются в дисциплинах:

Спец. главы физики,

Квантовая механика,

Физика конденсированного состояния,

и в других теоретических дисциплинах.

Разделы курса

 

1. Преобразование Фурье.

2. Сингулярные функции:

дельта-функция,

гребенчатая функция,

функция Хевисайда,

функция знака,

прямоугольная функция,

функция sinc,

треугольная функция.

3. Гамма- и бета-функции Эйлера.

4. Дифференциальные уравнения второго порядка.

5. Классические ортогональные полиномы:

Эрмита,

Лагерра,

Лежандра,

Чебышева.

6. Сферические функции.

7. Функции Бесселя.

8. Функция Грина.

9. Дифференциальные уравнения с частными производными.

 

Контрольные мероприятия

1. Индивидуальные задания 1, 2, 3 (4-ая, 9-ая, 14-ая недели).

2. Коллоквиум в конце семестра.

3. Экзамен для групп РНТ1; дифф. зачет для групп РМС7, РЭН2, РП4.

Коллоквиум

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов j и q. Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x ® 0 и x ® ¥. Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ

 

Число баллов	Оценка
международная	российская
90–100     80–89   70–79   60–69   50–59	97–100 93–96 90–92 87–89	A+ A A– B+	Отлично
84–86 80–83 77–79 74–76	B B– C+ C	Хорошо
70–73 66–69 63–65 60–62 50–59	C– D+ D D– E	Удовлетв.
25–49 0–24	25–49 0–24	FX F	Неуд.

 

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ С ЭКЗАМЕНОМ

 

Группы РНТ1

 

Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.

№	Вид деятельности	Число баллов
1.     2.   3.   4.   5.	Активность на занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3	(0–3) + (0–3) + (0–3)= 0–9     0–10   4–7   4–7   4–7
5.	Коллоквиум	Всего не более 40
6.	Экзамен	Всего не более 60   0–40

Всего не более 100

 

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ С ЗАЧЕТОМ

 

Группы РЭН2, РМС7, РП4

 

№	Вид деятельности	Число баллов
1.   2.   3.   4.   5.   6.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3   Коллоквиум	(0–5) + (0–5) + (0–5)= 0–15   0–15   5–14   5–14   5–14

Всего не более 100

 

Литература

1. Файлы лекций.

2. Учебное пособие для лекций и практических занятий:

Краснопевцев Е.А. Математические методы физики. 53

Ортонормированные базисы функций. Изд. НГТУ, 2008. К 782

Дополнительная литература

 

3. Приведена в конце учебного пособия.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов.

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ

 

Базис – совокупность математических величин, используемых для упрощения решения задачи. В частности, базисом является система координат.

 

Ортогональные координаты применяются во всех разделах физики и техники, где используются вектора. В результате:

упрощается решение задачи,

результаты выражаются через проекции,

решение становится наглядным.

 

Декартовы координаты ввел Декарт в 1637 г.

 

 

Рене Декарт (1596–1650)

 

Где

– орты – единичные, взаимно перпендикулярные вектора;

– проекции вектора на орты;

– скалярное произведение;

– изучаемый вектор;

– составляющие вектора.

ВекторнОе пространствО

Векторное пространство – множество векторов, для которых определено скалярное произведение.

Размерность пространства – число независимых векторов, через сумму которых выражается произвольный вектор этого пространства.

Мерное пространство

 

Базис ортов

Произвольный трехмерный вектор разлагается по трем ортам, образующим базис:

,

 

, .