Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-12 | 417 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
,
. (1.26)
Доказательство
Выполняем фурье-преобразование (1.25)
и используем интегральную теорему (1.20)
.
Теорема о дифференцировании
При каждом дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на
. (1.35)
Доказательство
Формулу (1.2)
,
дифференцируем n раз
.
Сравниваем результат с (1.2) – для функции получаем Фурье-образ .
Умножение функции на
Умножение функции на приводит к дифференцированию ее фурье-образа
,
. (1.37)
Доказательство
Дифференцируем (1.1)
,
получаем
.
Сравниваем результат с формулой (1.1), записанной для функции , и получаем .
Преобразование периодическОЙ функциИ
Функция с периодом L удовлетворяет
.
Спектр периодической функции дискретный. Такая функция разлагается по ортонормированному базису гармонических функций с периодами , где В акустике составляющая с называется основным тоном, составляющие с называются обертонами.
Базисы Фурье комплексных периодических функций
Условию периодичности
,
с периодом удовлетворяют комплексные функции
,
Доказательство
Выполняется
,
где учтено
,
,
Получаем базисы:
· , , с периодом .
Замена аргумента дает
· : , , с периодом L,
· : , , с периодом ,
где множитель перед экспонентой обеспечивает нормировку функции.
Базисы Фурье вещественных периодических функций
Для функции с периодом
,
Для четной функции с периодом
,
Для нечетной функции с периодом
,
Ортонормированность базисов
Дискретный базис функций , где , с периодом L ортонормирован, если
.
Частные случаи:
|
1. ,
,
где использовано:
;
, при ;
.
2. ,
, (1.43)
где сделана замена
,
и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.
3. ,
, (1.44)
где сделана замена
.
4. Доказать самостоятельно:
,
,
. (1.45)
5. ,
,
. (1.46)
Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции
Для функции с периодом L используем ортонормированный базис гармонических функций с периодом L
, ,
удовлетворяющих
.
Разлагаем в ряд Фурье
. (1.48)
Ищем коэффициенты разложения .
Умножаем (1.48) на и интегрируем
,
где переставлено суммирование и интегрирование. С учетом (1.43)
находим
.
Переобозначаем , и для периодической функции получаем
. (1.49)
Спектр периодической функции
Разложение (1.48)
подставляем в преобразование Фурье (1.1)
.
Переставляем суммирование и интегрирование
.
Используем (2.24)
,
получаем спектр периодической функции
. (1.47)
Периодическая функция с периодом L имеет дискретный спектр с периодом в виде модулированной гребенчатой функции.
Теорема о дифференцировании
Разложение (1.48)
,
дифференцируем m раз
.
Результат сравниваем с разложением (1.48) для функции , получаем , тогда
. (1.50)
Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции
Вещественная функция с периодом L удовлетворяет
,
.
Из (1.49)
.
Выполняем комплексное сопряжение
,
Результат сравниваем с (1.49) и находим
.
Из (1.48)
получаем
, (1.53)
где учтено
,
.
Заменяем
,
где
,
.
Используем
.
Получаем разложение функции вряд Фурье
. (1.54)
Из (1.49)
,
находим коэффициенты
,
,
. (1.54а)
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!