Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-12 | 2469 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Свойства степени с произвольным показателем.
a) Степень с натуральным показателем.
Определение: , где n-любое натуральное число называется степенью с натуральным показателем.
=a·a·a…·a
n-раз
=2·2·2·2=4·4=16
4 раза
a- основание степени
т-показатель степени
= a 5) =
n |
3) · = 7) =
4) = 8) =
б) Степень с рациональным показателем.
Определение: Под степенью с рациональным показателем , где q 1 понимают , т.е. = , a>0 =
Все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
s |
1) = a 4) = 7) =
2) = 1 5) = 8) =
3) · = = · 9) =
Определение логарифма числа и его свойства. Натуральные и десятичные логарифмы.
Показательное уравнение вида =b (при условии, что числа a и b положительны, где a 0; a 0 и b 0) имеет решение, которое можно записать:
|
Например, = 7; ; 125 и т.д.
Определение: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a, называется показатель степени x, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Таким образом, =x
b; a > 0; a < 0 и a 1
Операцию нахождение логарифма называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к операции возведение в степень соответствующим основаниям.
Возведение в степеньЛогарифмирование
=25 =2
=0,001 =3
=ln3 |
|
Особо выделим 3 формулы:
1) =1 ( =1)
2) =0 ( =0)
3) =r ( =2)
Свойства логарифмов.
Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени. Мы ими уже пользовались:
= b |
= r |
= + |
Например, ;
.
Доказательство: Введём следующие обозначения.
Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство
(введение новых переменных) простой язык
=x =bc =
=y =b =
=z =c x=y+z
Доказать x=y+z
Теорема 2 .Если a,b,c-положительные числа, причём a 1, то справедливо равенство
= |
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Например,
Доказательство:
Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство
(введение новых переменных) простой язык
x
y b
z c x y-z
Доказать x y-z
r |
Например,
lg
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
Доказательство:
Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство
(введение новых переменных) простой язык
x
y b
x ry
Доказать x=ry
3.Тригонометрические функции числового аргумента(определения, табличные значения).
|
x cost sint |
-1 cost 1 -1 sint 1 |
M(x;y)
t
Определение №2: Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называется тангенсом числа t, т.е. tg t
Определение №3 : Отношение косинуса t, к синусу t называется котангенсом, т.е. ctg t
Каждому действительному числу t на числовой окружности можно поставить в соответствии определённое число cost (или sint, или tgt, или ctgt), таким образом, речь идёт о четырёх тригонометрических функциях числового аргумента, где t-любое действительное число.
Табличные значения
Тригонометрических функций
sint | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | |||
cost | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | |||
tgt | 0 | 1 | Не сущ. | 0 | Не сущ. | 0 | ||
ctgt | 0 | 1 | 0 | Не сущ. | 0 | Не сущ. |
Арккосинус
arccosa t |
0
Свойство арккосинуса:
arccos(-a) -arccosa |
Функция не является ни четной, ни нечётной
Арксинус
arcsina=t |
Свойство арксинуса:
arcsin(-a)= arcsina |
Функция не чётная
-1 | 0 | 1 | |||||||
t=arcsina | 0 |
Арктангенс
Определение: Арктангенсом числа a (arctga), где a-любое действительное число на линии tg, называется такое число t на окружности из интервала , тангенс которого равен числу a
arctga=t a-любое |
Свойство арктангенса:
arctg(-a)= arctga |
Функция не чётная
Арккотангенс
Определение: Арккотангенсом числа a (arcctga), где a-любое действительное число, называется такое число t на окружности (или угол), котангенс которого равен числу a
arcctga t |
0<t<
t (0; )
Свойство арккотангенса:
arcctg(-a)= -arcctga |
Функция не является не чётной, ни не чётной
Табличные значения арккотангенса
0 | |||||||
t arctga |
Вывод формул обратных
Тригонометрических функций.
arccos(-a) arccosa arcsin(-a) arcsina arctg(-a) arctga arcctg(-a) arcctga |
Основные тригонометрические формулы (зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, суммы и разности аргументов, двойного аргументов, понижения степени, суммы и разности тригонометрических функций, формулы приведения).
|
Формулы двойного аргумента.
(1) sin |
(2) cos |
(3) tg2 |
Формулы суммы и разности
тригонометрических функций.
Формулы сложения тригонометрических функций позволяют преобразовывать сумму и разность функций в произведение этих функций.
cos |
sin |
sin |
cos |
Формулы приведения.
Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблице, либо по модели числовая окружность.
Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу. Формул приведения много, поэтому лучше запомнить правило написаний этих формул, а не сами формулы.
ПРАВИЛО НАПИСАНИЯ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ:
1) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( , или ( , то наименование функции нужно изменить на родственное (sin cos; tg ctg)
2) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( то наименование тригонометрической функции менять не нужно.
3)Перед полученной функцией от аргумента t нужно поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что
0<t< (0 < <90
1) sin ( 17) tg (
2) sin ( 18) tg (
3) sin ( 19) tg (
4) sin 20) tg
5) sin ( 21) tg (
6) sin 22) tg
7) sin 23) tg
8) sin 24) tg
9) cos ( 25) ctg (
10) cos ( 26) ctg (
11) cos ( 27) ctg (
12) cos 28) ctg
13) cos ( 29) ctg (
14) cos 30) ctg
15) cos 31) ctg
16) cos 32) ctg
6.Решение уравнения sinx=a.
(вывод формул корней уравнения sint=a)
Если то уравнение sin =a имеет корни, если то уравнение корней не имеет. Например:
sint = 2
2 нет корней
sint = -1,8
|-1,8|=1,8 нет корней
Вывод формул корней
a |
0;
t= arcsina+ k |
Вывод: Уравнение sint a имеет две серии решений: (1)
arcsina |
(2)
Эти две формулы объединим в одну:
t k
(1) t |
при любом k
(2) t |
t = k |
Формула корней уравнения sin t=a
Свойство:
(1) формула
(2) формула
Три частных случая:
1) sint t
2) sint t
3) sin t
Например, Решить уравнение
sint
t
t
7.Решение уравнения cosx=a
(Вывод формул корней уравнения cost=a)
Решить тригонометрическое уравнение cost=a, значит найти все числа t на окружности cos, которых равен числу a.
|
a
x |a| 1
Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a имеет корни.
Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a не имеет решений.
cos t 1,5 нет корней
cos t | | нет корней
y Вывод формул корней
a |
(k
x
1
Вывод: Уравнение cost=a имеет две серии решений:
t= k
t= (k , которые можно объединить в одну формулу
Формула корней уравнения cost=a
Свойство:
Но в трёх частных случаев предпочитают пользоваться не формулой корней, а более простыми соотношениями:
1) cos t t
2) cos t t
3) cos t t
Например, Решить уравнение
cos t
|a| нет корней
8.Решение уравнения tgx=a.
(Вывод формулы корней уравненияtgt=a),
tg
a +
t=arctga
x
Свойство:
Частных случаев нет!
Например, Решить уравнение:
tgt=1,5
t=arctg1,5
9.Решение уравнения ctg=a.
(Вывод формулы корней уравнения ctgt=a),
y
ctgt 0 a ctgt
arcctga
x
arcctga+
t |
Формула корней уравнения ctgt=a
arcctg(-a) |
Например, Решить уравнение:
ctgt
t
x |
Свойства степени с произвольным показателем.
a) Степень с натуральным показателем.
Определение: , где n-любое натуральное число называется степенью с натуральным показателем.
=a·a·a…·a
n-раз
=2·2·2·2=4·4=16
4 раза
a- основание степени
т-показатель степени
= a 5) =
n |
3) · = 7) =
4) = 8) =
б) Степень с рациональным показателем.
Определение: Под степенью с рациональным показателем , где q 1 понимают , т.е. = , a>0 =
Все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
s |
1) = a 4) = 7) =
2) = 1 5) = 8) =
3) · = = · 9) =
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!