История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-09 | 239 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть т. является изолированной особой т. однозначной аналитической ф. . В окрестности этой т. ф. может быть единственным образом разложена в ряд Лорана: , где и, в частности, .
Вычетом аналитической ф. в изолированной особой точке называется комплексное число, равно значению интеграла: , взятому в положительном направлении по любому лежащему в области аналитичности ф. замкнутому контуру , содержащему единственную особую т. ф. . Обозначают так: или .
Если т. является устранимой особой т. ф. , то вычет ф. в этой т. равен нулю. Для вычисления вычета ф. в её изолированной особой т. можно использовать формулу: .Однако, в ряде случаев, вычет можно вычислить, дифференцированием ф. в окрестности т. . Т.е. вычисление контурного интеграла от аналит. ф. может быть заменено вычислением производных от этой ф. в некоторых точках, лежащих внутри контура интегрирования.
1) Пусть точка является полюсом первого порядка ф. . Тогда в окрестности этой т. имеет место разложение: . Умножим обе части на и перейдя к пределу при : . Тогда, в данном случае ф. в окрестности т. может быть представлена в виде отношения двух аналитических ф.: , причём а т. является нулём первого порядка ф. , т.е. .
Тогда из полученных формул, получим формулу вычисления вычета в полюсе первого порядка: , .
2) Пусть т. является полюсом порядка ф. . Тогда формула вычисления вычета в полюсе порядка : .
Основная теорема теории вычетов.
Пусть ф. является аналитической всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых т. , лежащих внутри обл. . Тогда: , где представляет собой полную границу обл. , проходимую в положительном направлении.
Док-во.
Если ф. является аналит. в замкнутой обл. , то все т. границы этой области суть правильные т. ф. . Выделим каждую из особых т. ф. замкнутым контуром , не содержащим внутри других особых т., кроме т. . В замкнутой многосвязной обл., ограниченной контуром и всеми контурами (Рис. 5.1) ф. является всюду аналитической. Поэтому по второй теореме Коши получим: . Перенеся второе слагаемое в право, мы в силу формулы и получим утверждение теоремы.
|
Зам.: Практическое значение этой формулы заключается в том, что во многих случаях оказывается гораздо проще вычислить вычеты ф. в особых точках, лежащих в обл. интегрирования, чем сам интеграл в левой части.
Вычисление определённых интегралов с помощью вычетов.
1) Рассмотрим интеграл вида: , где – рациональная ф. своих аргументов. Тогда равно:
где – аналит. ф., – полюса ф. , – порядок полюса .
2) Рассмотрим интеграл вида: , в смысле главного значения, т.е. . Полагаем что непрывна на . Возможность исп. вычетов, основана на том, что отрезок действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы: , где – дуга окружности , . Тогда определяется как предел:
Функциональный анализ
Гильбертовы пространства
Определение и простейшие свойства. Примеры гильбертовых пространств. Понятие ортогональности в гильбертовом пространстве. Полнота системы функций в гильбертовом пространстве.
Гильбертовы пространства.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!