Векторы, определение, действия над векторами, их свойства.

Геометрическим вектором называют направленный отрезок. Для описания векторов используют обозначения ; .

Длиной вектора называют расстояние между начальной точкой и точкой конца вектора. Длину вектора будем обозначать , или просто АВ, а.

Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Такой вектор не имеет направления, его длина равна нулю, обозначают его как .

Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают это как .

Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Два вектора называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Свободным называют вектор, который можно перемещать в пространстве параллельно его направлению.

Отметим, что для свободного вектора его начало можно совмещать с любой точкой пространства.

В дальнейшем будем иметь дело лишь со свободными векторами.

Линейные операции над векторами и их свойства

Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух геометрических векторов и называется вектор , который можно построить или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

1.По правилу треугольника

Параллельным переносом совместим конец вектора с началом вектора . Тогда суммой + будем называть вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора .

2. По правилу параллелограмма

Параллельным переносом совместим начало вектора и начало вектора . Достроим параллелограмм на концах векторов. Суммой векторов и будем называть вектор , являющийся диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов и .

Свойства сложения векторов.

1. Коммутативность

+ = +

2.Ассоциативность

3.Существование нулевого вектора такого, что

4. Для любого вектора существует противоположный вектор ()такой, что

 

С помощью свойств сложения векторов также можно доказать, что для любых векторов и существует такой вектор , который, будучи сложен с , даст вектор .

Такой вектор называют геометрической разностью векторов и :

Произведением вектора на вещественное число называется вектор , имеющий длину, равную произведению чисел и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное, если .

Свойства произведения вектора на число.

5. Ассоциативность сомножителей

6. Дистрибутивность суммы векторов относительно умножения на вещественное число

7. Дистрибутивность относительно суммы чисел

8. Существование числа 1, не меняющего вектора при умножении

Все восемь свойств линейных операций получены из геометрических свойств векторов.

Можно поступить иначе. Положить эти восемь свойств в основу определения векторов.

Определение.

Любая совокупность объектов, для которых введено соотношение равенства, а также операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам 1-8, называется линейным векторным пространством.

Элементы такого пространства называют векторами или точками этого пространства.

Примеры линейных векторных пространств

1. Множество всех геометрических векторов.

2. Множество всех вещественных чисел. Обозначим его или .

3. Множество всевозможных пар вещественных чисел. Обозначим его .

Пусть = и = – элементы этого множества. Будем называть числа и координатами векторов и . Векторы и считаются равными, если равны их координаты, т.е. и

Суммой векторов и будем называть вектор , имеющий координаты и .

Произведением вектора на число будем считать вектор , имеющий координаты и .

При таком введении линейных операций выполняются все свойства 1-8 и пространство можно считать линейным векторным пространством.

4. Множество всевозможных наборов из n вещественных чисел. Будем обозначать это множество . Элементами этого множества являются наборы из чисел.

10. Скалярное произведение векторов и его свойства

В качестве нелинейных операций над векторами рассмотрим скалярное произведение и векторное произведение, наиболее часто встречающиеся в приложениях.

Углом между двумя векторами будем называть угол, который не превосходит p.

 

 

Угол между векторами будем обозначать

Скалярным произведением двух геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если ,то ,т.к. ,

если ,то ,т.к. ,

если ,то ,т.к. .

 

а)Ортогональной проекцией вектора на направление, задаваемое вектором , будем называть число

б) Аналогично число ₌ является ортогональной проекцией вектора на направление .

Из определения скалярного произведения следует, что

Следствие.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны (угол между ними равен ).

Свойства скалярного произведения.

Коммутативность

1) Ассоциативность

2) Дистрибутивность относительно суммы векторов

4) , если и , если

Свойства 1-4 доказываются исходя из геометрических свойств векторов.

Угол между векторами.

Зная длины векторов и их скалярное произведение можно найти угол между векторами. Действительно, т.к. , то

 

11. Векторное произведение и его свойства, вычисление через координаты

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (обозначим его ), удовлетворяющий следующим условиям.

1. , где .

2. и .

3. Направление вектора выбрано так, что со стороны вектора поворот от к происходит против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения.

1.

2. , - вещественное число

3.

 

Пример

Найти площадь параллелограмма и угол между его диагоналями, если длина сторон параллелограмма и угол между ними .

Решение.

Пусть и - векторы, построенные на сторонах параллелограмма. Площадь параллелограмма . Заметим, что . Диагонали параллелограмма – это векторы и .

Пусть - угол между диагоналями. Тогда

Ответ: ; .

 

 

Векторное произведение векторов.

Определение: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1. | [ a, b ] |=S _{a , b} , где S _{a , b} – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то S _{a , b} =0.)
2. a [a,b] b.
3. a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1. [ a, b ] = -[ b, a ]
2. [ a, b ] = θ ó a || b
3. [ a₁ + a₂, b ] = [ a₁, b ]+[ a₂, b ]
4. λ·[ a, b ] = [λ ·a,b ] = [ a,λ ·b ] λ R.

Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={ x₁, y₁, z₁ }, b={ x₂, y₂, z₂ }

=> [ a, b ] =

=

 

12. Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

 

Утверждение: <a,b,c>=V _{a , b , c}, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V _{a , b , c}, если a,b,c – левая тройка. Здесь V _{a , b , c} – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то V_a,b,c=0.)

 

Утверждение: В декартовой системе координат, если a={ x₁, y₁, z₁ }, b={ x₂, y₂, z₂ },

с={ x₃, y₃, z₃ }, => <a,b,c>= .