Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-10 | 508 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
■ Уравнение линии на плоскости. Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение (или ), связывающее две переменные величины х и у. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.
■ Уравнение окружности. Пусть центр окружности радиуса R находится в точке , тогда для любой точки , принадлежащей окружности, выполняется равенство или же , а для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет. Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид
.
В частности, уравнение является уравнением окружности радиуса R с центром в начале координат.
Часто используются так называемые параметрические уравнения окружности:
,
(для окружности с центром в начале координат эти уравнения принимают вид , ). При изменении параметра t от 0 до точка (x (t), y (t)) опишет полную окружность.
Уравнение касательной к окружности имеет вид
,
где – координаты точки касания.
Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса 3 с центром в точке .
Решение. В данном случае , , , поэтому уравнение окружности имеет вид , а параметрические уравнения этой окружности , .
Пример 2. Выяснить геометрический смысл уравнения .
Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты:
.
Отсюда .
Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса с центром в точке .
■ Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек и (фокусов) есть постоянная величина (обозначаемая 2 а).
|
В системе координат, изображенной на рис. 3, уравнение эллипса имеет простейший вид
, (1)
называемый каноническим уравнением (оно получается из равенства ). Здесь а – большая полуось, b – малая полуось эллипса; фокусы и находятся на расстоянии от центра эллипса О (при этом предполагается, что ). Отношение называется эксцентриситетом эллипса (очевидно, ); легко видеть, что . Расстояния от любой точки эллипса до его фокусов и (их называют фокальными радиусами-векторами) определяются по формулам
, . (2)
Параметрические уравнения эллипса имеют вид
,
(при изменении параметра t от 0 до точка (x (t), y (t)) описывает полный эллипс).
В случае, когда , фокусы эллипса находятся на оси ординат; при этом , .
Уравнение касательной к эллипсу имеет вид
, (3)
где – координаты точки касания.
Площадь эллипса с полуосями а и b равна .
Пример 3. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки и .
Решение. Подставляя координаты точек М и N в каноническое уравнение эллипса (1), получим систему двух уравнений для нахождения полуосей а и b:
, .
Из этой системы находим , (таким образом, большая полуось эллипса , а малая полуось ).
Ответ: .
Пример 4. Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса, рассмотренного в Примере 3.
Решение. Находим , так что расстояние между фокусами равно (а координаты фокусов и ). Эксцентриситет эллипса .
■ Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и (фокусов) есть постоянная величина (обозначаемая 2 а).
В системе координат, изображенной на рис. 4, уравнение гиперболы имеет простейший вид
, (4)
называемый каноническим уравнением (оно получается из равенства ).
Здесь а называется действительной полуосью, b – мнимой полуосью гиперболы; фокусы и находятся на расстоянии от центра гиперболы О (при этом а может быть как больше, так и меньше b). Отношение называется эксцентриситетом гиперболы (очевидно, ); легко видеть, что .
|
Прямые и называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М (х, y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.
Гипербола, у которой , называется равнобочной; её уравнение . У равнобочной гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны, их уравнения и ; если взять эти асимптоты в качестве новых осей координат, то в такой системе координат х'Оу' уравнение такой гиперболы будет иметь вид , т.е. равнобочная гипербола в такой системе координат является графиком обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки и .
Решение. Подставляя координаты точек М и N в уравнение (4), получим систему двух уравнений для нахождения полуосей гиперболы а и b:
, .
Из этой системы находим , (таким образом, действительная полуось гиперболы , а мнимая полуось ).
Ответ: .
Пример 6. Найти координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, рассмотренной в Примере 5.
Решение. Имеем , так что расстояние между фокусами равно , а координаты фокусов и . Эксцентриситет можно найти либо по формуле , либо по формуле .
■ Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой (прямая l на рис. 5).
Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы. Принимая за начало координат середину О отрезка FC (так что ) и располагая оси координат так, как показано на рис. 5, а, приходим к каноническому уравнению параболы:
(5)
(оно получается из равенства ).
Парабола на рис. 5, а имеет фокус , а ее директриса описывается уравнением . Расстояние от любой точки параболы до ее фокуса (фокальный радиус-вектор) можно найти по формуле
.
Уравнение касательной к параболе, описываемой уравнением , имеет вид
, (6)
где – координаты точки касания.
Уравнение представляет параболу, только в этом случае ось параболы совпадает с осью ординат, и парабола расположена так, как показано на рис. 5, б. Ее фокус , а директриса имеет уравнение .
Пример 7. Составить уравнение параболы, проходящей через точки и и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы.
|
Решение. Искомое уравнение должно иметь вид ; подставляя сюда , , получим , откуда , так что уравнение параболы . Параметр параболы , поэтому уравнение директрисы .
Пример 8. Составить уравнения касательных к параболе в точках с абсциссой .
Решение. Параметр параболы . Ординаты точек касания находим из равенства , откуда . Согласно (6) касательная к параболе в точке имеет уравнение или , а касательная в точке – уравнение и .
1.4. Преобразование координат и упрощение
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!