Виды средних: общие, групповые, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое. Структурные средние: мода, медиана.

Доверительные интервалы для среднего генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону.

Совокупность единиц, из которой производится отбор, называется генеральной совокупностью, а специальным образом отобранная часть из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью, она отражает все свойства генеральной.

Нормальное распределение: параметры: мат ожидание и дисперсия.

Центральная предельная теорема Ляпунова дает вероятность появления ошибок определенной величины: «При большом n независимых наблюдений за конечной средней и ограниченной дисперсией вероятность того, что расхождение между генеральной и выборочной средней не превзойдет некоторую величину , равна интегралу Лапласа от t»

(- для простой случайной повторной выборки)

CB:

; ;

- средняя ошибка выборки

- предельная ошибка выборки

прямо пропорциональна колеблемости выборки и обратно зависит от объема n

равна t числу средних ошибок выборки, если t=2, то величина равна 2 ошибкам, причем t зависит от вероятности, с которой мы хотим определить эту ошибку.

если t=2 (1,96):

При небольших по численности генеральных совокупностях применяется случайная бесповторная выборка, которая обеспечивает равную вероятность попадания всех единиц совокупности.

Пользуясь этой теоремой можно определять доверительный интервал для генеральной средней по выборочной средней и заданной доверительной вероятности.

Это делается для того, чтобы распространить выводы, сделанные на основании выборочной совокупности, на генеральную.

Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом.

Зная выборочную среднюю величину признака Хв и предельную ошибку выборки ∆, можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя

- для повторной выборки

- для бесповторной выборки

n - объем выборки, N- объем генеральной совокупности, Хв- выборочное среднее, t- аргумент функции Лапласа, δ –среднеквадратическое отклонение.

Доверительная вероятность – это вероятность того, что данная величина будет находиться в соответствующих пределах. Чем больше ДВ, тем больше ДИ.

Для выборочной доли: , где

-для повторной выборки.

При данный коэффициент не существенен.

Ширина доверительного интервала зависит от , а значит от ошибки и доверительной вероятности (т.е. от и t).

Индивидуальные и общие индексы. Базисные и цепные индексы. Агрегатная форма общего индекса. Индексы Ласпейреса и Пааше. Индекс Фишера. Средние индексы. Средний арифметический и средний гармонический индексы.

Индексы широко применяются для сравнительной характеристики сложных общественных явлений (во времени, в пространстве). Наиболее сложной и интересной задачей, решаемой построением индексов, является анализ влияния отдельных факторов на общее изменение исследуемого показателя. При помощи индексов изучается влияние структурных сдвигов на изменения аналитических показателей. В статистике широко применяются индексы цен, индексы потребительских цен, индексы объема продукции, производительности труда и др.Индексы представляют собой показатели, позволяющие анализировать изменение явления во времени, в пространстве, а также оценивать степень выполнения плана. Индекс — особая относительная величина, с помощью которой можно соизмерять несоизмеримые явления, а также производить оценку роли отдельных факторов, которые формируют сложное социально-экономическое явление.

Индексы индивидуальные и общие (сводные). Индивидуальный индекс — это результат сравнения двух показателей, относящихся к однородному объекту (например, цен какого-либо товара, объемов его реализации, количества произведенной продукции в отчетном и базисном периодах и т.д.). Так, для получения индивидуального индекса цен - i_p — нужно цену единицы этого товара в отчетном периоде - р₁ — отнести к цене этого товара в базисном периоде — р_о: . Индивидуальный индекс физического объема: .

Базисный период - период, к которому относится величина, подвергаемая сравнению, а отчетный - период, к которому относится сравниваемая величина. При исчислении важно правильно выбрать период, принимаемый за базу сравнения.

В базисных индексах все отчетные данные сопоставляются только с базисными данными, а в цепных – с предыдущими данными.

Общие (Сводные) индексы выражают соотношения сложных социально-экономических явлений, состоящих либо из несоизмеримых элементов, либо отдельных частей этих явлений. В первом случае получаем общий индекс, во втором — групповой (субиндекс). Сводный или агрегатный индекс состоит из: 1) индексируемой величины, характер изменения которой определяется; 2) соизмерителя, который называется весом. Для исчисления сводных индексов необходимо привести их составные части к сопоставимому виду. Например, для оценки изменения объема разнородной продукции в двух сравниваемых периодах нужно принять одинаковые цены, а для оценки изменения уровня цен на группу товаров нужно сопоставлять одинаковые объемы этих товаров. Специфика индексного метода состоит в приведении элементов сложного явления (индексируемых величин и весов) к сопоставимому виду. Веса берутся одинаковыми в числителе и знаменателе индекса. Сводный индекс цен

Из этой формулы видно, что индексируемая величина - цена р, а весами выступает объем продукции отчетного периода q₁. В числителе индекса — стоимостный показатель реального товарооборота отчетного периода, а в знаменателе — условного товарооборота отчетного периода в ценах базисного периода.

Разность между знаменателем и числителем индекса цен отражает сумму экономии (или перерасхода) покупателей от снижения (или повышения) цен. Если разность положительна, то это означает экономию для покупателей, если отрицательна — перерасход.

На уровень цен группы товаров оказывают влияние, как индивидуальные цены отдельных товаров, так и объемы их продаж. Применение рассматриваемой формулы устраняет влияние второго фактора — объема продаж на среднее изменение цен и учитывает лишь изменение индивидуальных цен.

Сводный индекс физического объема товарооборота: .

Здесь индексируемая величина — количество товаров в натуральном выражении, весами выступают цены. Его применение дает возможность оценить изменения физического объема продаж при сохранении цен неизменными. Цены в этом индексе - фиксируются на уровне базисного периода р_о.

В сводном индексе стоимости товарооборота сопоставляются два стоимостных показателя — товарооборота отчетного и базисного периодов. Он имеет вид:

 

 

С его помощью можно определить степень изменения товарооборота как в результате изменения индивидуальных цен на товары, так и в результате изменения физического объема их продаж.

При построении сводных агрегатных индексов придерживаются следующих правил:

1. для индексов качественных показателей (цен, себестоимости, пр-ти труда, урожайности) веса выбираются на уровне отчетного периода:

2. для индексов объемных показателей (физический объем реализации, объем произведенной продукции) — веса выбираются на уровне базисного периода:

Агрегатный индекс цен (показатель инфляции):

– Индекс цен Пааше показывает, во сколько раз возрос или уменьшился в среднем уровень цен на массу товара, реализованную в отчетном периоде, или сколько процентов составляет его рост (снижение) в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, т. е. он показывает, на сколько товары в отчетном периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном. Числитель — фактическая стоимость продукции отчетного периода; Знаменатель - условная стоимость товаров, которые реализованы в отчетном периоде по базисным ценам. ;

– Индекс цен Ласпейреса показывает, на сколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, но по продукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию (перерасход), который можно было бы получить от изменения цен. Индекс цен Ласпейреса также показывает, во сколько раз товары базисного периода подорожали (подешевели) в результате изменения цен на них в отчетном периоде. Числитель - стоимость продукции реализованной в базисном (предыдущем) периоде по ценам отчетного периода; знаменатель - стоимость продукции реализованной в базисном (предыдущем) периоде по ценам отчетного периода. ;

– Агрегатный индекс Фишера - «идеальный» индекс цен представляет - собой среднюю геометрическую произведения двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше. Идеальность данной формулы заключается в том, что индекс является обратимым во времени, т. е. при перестановке базисного и отчетного периодов полученный обратный индекс представляет собой величину, обратную величине первоначального индекса. Недостаток формулы состоит в том, что она лишена конкретного экономического содержания (разность между числителем и знаменателем не показывает никакой реальной экономии или потерь вследствие изменения цен).

.

Сводный (агрегатный) индекс может быть преобразован в средний арифметический и средний гармонический индексы.

Средний арифметический индекс физического объема реализации может быть получен из агрегатного путем замены q₁ произведением i_qq₀. Эта возможность вытекает из формулы индивидуального индекса: i_q = q₁ : q₀.

Таким образом

Полученная форма представляет собой среднюю из индивидуальных индексов физического объема реализации, взвешенную по стоимости товарооборота базисного периода.

Сводный средний арифметический индекс физического объема реализации применяется в том случае, когда известны индивидуальные индексы физического объема и показатели стоимости товарооборота базисного периода.

Средний арифметический индекс цен получают в том случае, если из индивидуального индекса цен ip = p1/p0 выразить цену отчетного периода p1 = ip/p0, а затем подставить ее в числитель агрегатного индекса цен.

Данный индекс аналогичен агрегатному индексу Ласпейреса и имеет формулу:

В этом индексе весами осредненных индивидуальных индексов служит объем товарооборота в базисном периоде.

Средний гармонический индекс цен применяется тогда, когда не известны значения p1, q1 но дано их произведение и индивидуальные индексы цен ip = p1/p0, а сводный индекс должен быть исчислен с отчетными весами. Индивидуальные индексы определены таким образом, чтобы средний гармонический индекс совпал с агрегатным. Выражая из формулы индивидуальных индексов цен неизвестное значение р0 = р1/ip, подставляем его в знаменатель агрегатной формулы и получим средний гармонический индекс цен, который равен формуле Пааше:

Весами индивидуальных индексов iр в индексе является стоимость отдельных видов продукции отчетного периода в ценах того же периода p1q1.

Индекс структурных сдвигов

.

Виды средних: общие, групповые, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое. Структурные средние: мода, медиана.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средние величины подразделяются на:

- математические средние (или степенные), -структурные средние.

Математические делятся на: - средние арифметические, - средние геометрические, - средние гармонические.

Структурные делятся на: - моду,- медиану

В зависимости от хода исходной информации средние арифметические делятся на:

1) если рассматривается однородная совокупность объектов, т.е. все составляющие относятся к одному и тому же типу и складываются под влиянием общих, систематически действующих факторов. Простая арифметич. средняя определяется, если индивидуальные значения признака не повторяются. Пример: размер зарплаты у рабочих одного цеха.

2) Если выборка представлена в виде дискретного ряда распределения и есть частота появления (mi — абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака)

X	M
x1 x2 . xk	m1 m2 . mk

 

- объем выборки; m_i - веса

- средняя ариф. взвешенная

 

Чем чаще встречается признак в совокупности, тем ближе будет среднеарифметическое к mi. Пример: найти среднюю оценку в группе студентов в соответствии с частотой их появления.

Среднее геометрическое используется при расчете средних величин относительных показателей. Например: есть k показателей динамики, которые называются темпами роста . Пример: Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,5 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет: , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%.

Групповая средняя. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для него рассчитываются сначала средние по группам, они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассч-ся для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, - она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. - общая средняя. Среднее значение признака в интервальном ряду вычисляется:

Середина каждого интервала:

Средняя гармоническая применяется, когда индивидуальные значения выражены в форме обратных показателей. Если вес каждого варианта равен единице, то при n вариантах формула:

- простая - взвешенная;

M_i – объемное значение признака ()

x_i – индивидуальные значения признака в каждой группе.

Пример: Издержки производства и себестоимость единицы продукции по трем заводам характеризуются какими-то данными. Найти среднюю себестоимость по трем заводам.

Мода – значение признака, которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности. Используется при определении объема массового производства обуви, одежды устанавливается тот размер, который пользуется наибольшим спросом. При изучении товарооборота цены постоянно колеблются и регистрируется не средняя цена на тот или иной товар, а берется модальная цена, по которой продается максимальное количество товаров того или иного вида.

1) Преобразовать дискретный ряд в интервальный

2) Определить модальный интервал (интервал с наиб. частотой) (i)

3) Находим частоту модального интервала M_mo

4) Находим частоту предмодального интервала M_mo-1

5) Находим частоту постмодального интервала M_mo+1

x_mо – нижняя граница модального интервала

i_mо – величина модального интервала

Полигон распределения частот (для дискретного ряда). На оси X откладывают значения варьирующего признака, а на оси Y - частоты.

 

Гистограмма (для интервального ряда).

На оси X указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (mi).

Медиана – это показатель центра распределения. Она делит вариационный ряд пополам. Медиану используют при планировании размещения пунктов по заготовке сельскохозяйственной продукции (мясокомбинаты, элеваторы) с тем, чтобы сумма расстояний была минимальной при размещении оборудования общего пользования на предприятии.

Дискретный ряд:

1) Нечетное количество членов ряда

Ме = x₃;

2) Четное количество членов ряда

Для нахождения медианного интервала нужна:

1) Накопленная частота; 2) Относительная накоплен. частота (W_нак)

Медианным интервалом является первый интервал, в котором накопленная частота превышает половину всех частот.

– нижняя граница медианного интервала;

– сумма накопленных частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала;

– величина медианного интервала.

 

P(x<Me)= P(x>Me)=1/2

В вариационном ряду половина всех членов вариационного ряда принимает значение меньше, чем медиана, а половина – больше, чем медиана

 

 

Кумулята строится по накопленным частотам (по оси Y) и значениям признака (по оси X). Определение медианы по кумуляте: последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси X, до пересечения ее с кумулятой. Из точки пересечения опускается перпендикуляр до оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Функция распределения: F(x)=P(X<x)