Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-09 | 407 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть f – функция аналитическая в некоторой области D и её производная непрерывна, тогда для любого замкнутого контура
0
Аналитичность интеграла с переменным верхним пределом.
Если определена и непрерывна в D и , то -- аналитична в D и в D
f(z) – непрерывная =>
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Аналитическая функция в и f(z) непрерывная =>
Из данной области делаем односвязную с помощью разрезов, тогда , но
+34. Интегральная формула Коши.
Функция дифференцируема по в области D с выколотой точкой z. Выберем так, чтобы круг вместе с его границей лежал внутри . Тогда
где , так как , то
в силу непрерывности f(z)
+34.Теорема о бесконечной дифференцируемости интеграла типа Коши.
Интеграл Коши есть аналитическая функция в любой области не содержащей точек и имеет производную любого порядка
(по индукции)
Поскольку f(t) непрерывная на замкнутом множестве, то она на нём ограничена
Т.о. доказали
35.Теорема о -ой дифференцируемости аналитической функции.
Пусть аналитична в обл-ти и непрер. в замкн. обл-ти .Тогда во внутренних точках обл-ти производная порядка ф-ии , причём
□Для доказательства достаточно повторить следующие суждения соответствующее число раз. С помощью интеграла Коши (*). Рассм. в обл-ти некую замкнутую подобласть , расстояние всех которой от границы обл-ти некого «+» числа .
- явл.аналитич-ой ф-ей в , причём -непрерыв.ф-ия своих аргументов. В силу общих св-в интегралов, зав.от параметра, в внут. -ах обл-ти (**). (**) явл. интегралом, завис.от пар-ра,и его подынт. ф-ия имеет те же св-ва, что подынт.ф-ия у (*). явл.аналитич-ой ф-ей в ,причём для её производной верно: .■
|
Теорема Морера.
Пусть -непрерывная в односв.области и от замкнутому контуру, целиком ,равен 0. Тогда -аналитическая в обл-ти .
□При условиях теоремы ,где -произвольные области , а берётся по пути, соединяющему эти в обл-ти ,является аналитической в этой обл-ти ф-ей, причём . Но, как было только что установлено, производная аналитической ф-ии также является анал.ф-ей, т.е. нерерывная производная ф-ии , а именно ф-ия ,что и доказывает теорему.■
Эта теорема в определённом смысле явл. обратной по отношении к т.Коши. Её легко обобщить на многосвязные области.
Принцип максимума модуля.
Пусть -анал-ая в обл. и непрерыв. в замкн. обл. .Тогда или или максимальные знач-я достигаются только на границе области.
□ по условию непрерывная в замкн.области.Она достигает своего макс.значения в какой-то данной обл-ти.Т.е. , (*). Пусть -внутр.точкаобл-ти . Построим в круг радиуса с центром в .Пишем ф-лу среднего для и учитвая (*): (**).
Т.к. непрерывна на контуре интегрирования и из (*) при (***). По (*) не может быть . Если предположим, что в какой-то интегрирования модуль то из непрерыв. и в некой , т.е. можно указать отрезок инт-ия , на котором Тогда ,что противоречит (**).Значит (***) имеет место.■
Теорема Лиувилля.
Пусть на всей компл.пл-ти ф-ия аналитическая, а равномерно ограничен. Тогда тождественно = постоянной. □Пишем в : ,интегрирование будем вести по окружности . Из условия такая ,что независимо от . Поэтому . Т.к. можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от . Т.к. выбираем на всей компл.пл-ти. . ■
Основная теорема алгебры
Полином -ой степени имеет на компл.пл-ти ровно нулей (с учётом их кратности).
□Представим полином в виде , где , . Составим . При заданных значениях всегда найдётся такое знач. , что для всех знач. имеет место: . По теор.Руше , что полное число нулей ф-ии в равно числу нулей в этом круге ф-ии . Но на всей компл.пл-ти имеет! -кратный нуль - .Отсюда в силу произвольности и следует утверждение теоремы.■
|
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!