К выполнению контрольной работы №1

Кафедра высшей математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

ПО МАТЕМАТИКЕ

Нижнекамск – 2017

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. 3

2. Общие требования к выполнению контрольной работы.. 4

3. Теоретические сведения к выполнению контрольной работы.. 5

3.1. Матрицы. Операции над матрицами. 5

3.2. Определители второго и третьего порядков. 8

3.3. Обратная матрица. 10

3.4. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 11

3.5. Векторы и операции над ними. 15

3.6. Уравнение прямой на плоскости. 19

3.7. Комплексные числа. 22

4. Образец выполнения контрольной работы.. 27

5. Задания контрольной работы.. 35

6. Учебно-методическое обеспечение. 40

1. Введение

 

Данные методические указания адресованы студентам заочных форм обучения по направлению «Управление качеством» при выполнении контрольной работы №1 по дисциплине «Математика». Эта работа полностью соответствует ФГОС ВПО по направлению «Управление качеством».

Студенты заочной формы обучения довольно часто испытывают серьезные затруднения при выполнении и грамотном оформлении контрольной работы. Настоящее учебно-методическое пособие призвано помочь студентам самостоятельно выполнить задания контрольных работ и правильно их оформить.

Данные методические указания состоят из следующих основных частей: общих требований к выполнению контрольной работы, теоретических сведений необходимых для выполнения контрольной работы, образца решения нулевого варианта контрольной работы и 10 вариантов контрольной работы №1.

Раздел «Теоретические сведения к выполнению контрольной работы» содержит необходимый минимум сведений из курса математики, требуемый для выполнения предлагаемых заданий. Этот теоретический материал включает в себя все необходимые определения, утверждения и формулы. По каждой теме приводятся примеры, в которых подробно описывается весь ход решения. Образец решения нулевого варианта контрольной работы призван помочь студентам в дальнейшей отработке навыков решения задач из курса «Математика» и в грамотном оформлении собственной работы. Предлагаемые варианты заданий контрольных работ полностью соответствуют объему изучаемого материала курса математики. Все это даст возможность студентам заочных форм обучения качественно выполнить контрольную работу.

Целями освоения дисциплины «Математика» являются изучение основных разделов математики и приобретение навыков использования математического аппарата, необходимого для изучения других фундаментальных дисциплин, а также для работы с современной научно-технической литературой. Достижение этих целей обеспечивает выпускнику получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования и обладание перечисленными ниже общекультурными компетенциями. Они способствуют его социальной мобильности, устойчивости на рынке труда и успешной работе в избранной сфере деятельности.

Изучение дисциплины направлено на формирование компетенций, позволяющих применять базовые математические знания для решения профессиональных задач.

Данные методические указания способствуют развитию следующих общекультурных компетенций студентов обучающихся по направлению «Управление качеством»:

– способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования (ОК-11);

– способностью владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения и переработки информации (ОК-12).

Для достижения порогового уровня сформированности данных компетенций необходимо:

– решить задания контрольной работы 1, 3, 4 (а), 5, 6, 7, 8(а, б, в), 9(а), то есть все задания контрольной работы, кроме заданий 2, 4(б) и 9(б).

– уметь объяснять ход решения предлагаемых задач, знать правила и принципы, на которых основано это решение;

– уметь исправлять ошибки, допущенные в ходе решения задач. Количество верно выполненных заданий должно быть не менее 60 %, то есть допускается не более 4 заданий из 10, в которых допущены ошибки.

Дополнительные задания, предлагаемые студентам, претендующим на овладение повышенным уровнем сформированности компетенций, помечены значком * (звездочка).

Для достижения повышенного уровня сформированности этих компетенций необходимо:

– самостоятельно верно решить все задания контрольной работы;

– знать теоретические сведения, на которых основано решение данных заданий;

– уметь обосновывать выбор метода решения предлагаемых задач;

– уметь формулировать самостоятельно выводы по полученным данным и их интерпретировать.

 

2. Общие требования к выполнению контрольной работы

 

Приступая к выполнению контрольной работы по математике необходимо изучить теоретический материал и разобрать решения заданий нулевого варианта приведенных в образце выполнения контрольной работы. Только после этого рекомендуется приступать к решению контрольной работы.

Студент выполняет вариант контрольной работы, соответствующий последней цифре номера его зачетной книжки (цифре 0 соответствует номер 10). Работа с чужим вариантом не засчитывается. Контрольная работа выполняется вручную в тетради, страницы которой имеют поля для замечаний преподавателя. Последовательность решения задач должна соответствовать последовательности заданий контрольной работы. Перед решением задачи необходимо переписать ее условие. Титульный лист выполняется на компьютере и оформляется по примеру, приведенному в приложении.

Выполненная и оформленная контрольная работа должна быть представлена на кафедру высшей математики Института экономики, управления и права (г. Казань) не позднее, чем за 15 дней до начала сессии.

 

Обратная матрица

 

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если выполняется равенство:

(1)

Матрица имеет единственную обратную матрицу тогда и только тогда когда ее определитель отличен от нуля.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Вычислить определитель матрицы . Если определитель этой матрицы равен нулю, то не существует. Если же определитель этой матрицы не равен нулю, то существует.

2. Вычислить транспонированную матрицу .

3. Вычислить алгебраические дополнения матрицы .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле:

.

5. Проверить правильность вычислений по формуле (1). Выполнение данного пункта не является обязательным.

Пример. Вычислить обратную матрицу , если

.

Решение.

1. Вычислим определитель данной матрицы.

2. Вычислим транспонированную матрицу :

.

3. Вычислим алгебраические дополнения матрицы :

; ; ;

; ; ;

; ; .

4. Вычислим обратную матрицу:

.

 

Основные понятия

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n переменными:

(2)

где – коэффициенты при переменных, – свободные члены уравнений.

Совокупность чисел называется решением системы (2), если при их подстановке каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система, не имеющая решений, называется несовместной. Система, имеющая решения называется совместной.

Совместная система, имеющая единственное решение называется определенной. Совместная система, имеющая более одного решения называется неопределенной.

Выпишем коэффициенты при переменных в системе (2) в виде матрицы:

.

Матрица называется матрицей системы.

Выписав из системы все переменные, получим матрицу-столбец переменных:

.

Выписав все свободные члены, получим матрицу-столбец свободных членов:

.

Матрица

называется расширенной матрицей системы.

Метод Гаусса

Рассмотрим решение системы (2) методом Гаусса (методом последовательного исключения переменных). Метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода.

Прямой ход. Выпишем расширенную матрицу системы (2) и приведем матрицу к ступенчатому виду, то есть к виду, для которого выполняются условия:

1) все ненулевые строки (имеющие, по крайней мере, один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

2) ведущий элемент, то есть первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

.

Каждую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Элементарные преобразования матрицы – это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, заданной с помощью этой матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относится:

1) умножение любой строки на числовой коэффициент ;

2) прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на числовой коэффициент;

3) перестановка местами любых двух строк.

Обратный ход. Вернемся от расширенной матрицы ступенчатого вида к системе уравнений, которая соответствует этой матрице. Затем начиная с последних по номеру переменных, последовательно найдем все переменные.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Решим эту систему уравнений методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Прокомментируем каждый шаг алгоритма:

1-й шаг: умножаем первую строку на (-2) и прибавляем к третьей строке. В результате получим в первом столбце все нули, кроме верхнего элемента.

2-й шаг: умножим вторую строку на .

3-й шаг: умножим вторую строку на 5 и прибавим к третьей строке.

В результате мы получим расширенную матрицу ступенчатого вида.

Далее от полученной расширенной матрицы вернемся к соответствующей ей системе уравнений:

Отсюда, из третьего уравнения найдем . Подставляя полученное значение во второе уравнение, найдем . Подставляя вместо и полученные значения, из первого уравнения найдем .

Ответ: .

 

Формулы Крамера

Рассмотрим систему (2), в которой число уравнений равно числу переменных, то есть . В этом случае матрица системы будет квадратной, а ее определитель называется определителем системы.

Если определитель матрицы системы не равен нулю , то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

, , …, , (3)

 

где − определитель матрицы системы,

− определитель, получаемый из определителя заменой - го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Решим систему линейных уравнений с помощью формул Крамера.

Составим определитель матрицы системы уравнений. Для этого выпишем коэффициенты при переменных , и в определитель и вычислим его по «правилу треугольника»:

Заменив первый столбец определителя столбцом свободных членов, получим определитель:

Заменив второй столбец определителя столбцом свободных членов, получим определитель:

Заменив третий столбец определителя столбцом свободных членов, получим определитель:

По формулам Крамера находим:

,

,

.

Ответ: , , .

 

Векторы и операции над ними

Вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно самому себе. Векторы могут обозначается несколькими способами. Например, либо a, или , где точка означает начало вектора, а точка – конец вектора.

Длиной вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Длина вектора обозначается .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором. Нуль-вектор обозначается .

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Противоположным вектором называется вектор .

Определим понятие суммы двух векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : . (см. рис. 1) Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Также сумму двух векторов можно построить по правилу параллелограмма. Для этого берут произвольную точку и откладывают от нее два вектора и . Далее на этих векторах достраивают параллелограмм . Диагональ является суммой векторов и . (см. рис. 2)

Разностью двух векторов и называется вектор . (см. рис. 3)

Введем понятие координат вектора. Для этого совместим начало вектора с началом координат. Тогда координатами вектора называются координаты его конечной точки.

Пусть точка имеет координаты , а точка – . Тогда координаты вектора .

Суммой векторов и является вектор .

Разностью векторов и является вектор .

Произведением вектора на число называется вектор .

Длина вектора равна .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где – угол между векторами и .

Если вектора и заданы с помощью координат, то скалярное произведение векторов равно: .

Заметим, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Угол между векторами и вычисляется по формуле:

.

Пример. Даны два вектора и . Найти угол между этими векторами.

Решение. Вычислим косинус угла между этими векторами: . Следовательно, .

Ответ: .

Рис. 4.

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть третий вектор , модуль которого (т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ), а направление перпендикулярно к обоим векторам и (т. е. плоскости упомянутого параллелограмма) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол, меньший . Из этого определения векторного произведения следует, что векторы , и образуют правую систему.

Если векторы и коллинеарны (), то =0.

Свойства векторного произведения:

; ; ;

; .

Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:

; ; ; .

Если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их векторное произведение

.

Смешанным произведением векторовназывается произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение . Если векторы , и образуют правую тройку, то , если – левую, то .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда , построенного на векторах , и , взятому со знаком «+», если векторы , и образуют правую тройку, и со знаком «–», если – левую:

.

Если векторы , и заданы своими декартовыми координатами: , , , то их смешанное произведение

.

Пример. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найти площадь .

Решение. Направим из вершины треугольника векторы в вершины и (рис. 6). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь . Находим координаты векторов: , . Находим векторное произведение = .

Таким образом, (кв. ед.).

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =

. Объем параллелепипеда .

 

Комплексные числа

 

Определение. Числа вида , где и - вещественные числа, называются комплексными числами.

Число называется мнимой единицей, числа – мнимыми числами. Если , то число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается , число называется мнимой частью и обозначается . Число называется сопряженным числу и обозначается , то есть .

Замечание. В электротехнике, где буква обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой .

Алгебраические действия над комплексными числами выполняются по формулам:

,

,

,

Пример. Пусть . Тогда:

 

Задания контрольной работы

 

1. Даны матрицы и . Вычислить матрицу

Номер варианта	А	В

 

2*. Вычислить определитель четвертого порядка:

 

1) , 2) , 3) ,

 

4) , 5) , 6) ,

 

7) , 8) , 9) ,

 

10) .

 

3. Найти обратную матрицу:

 

1) , 2) , 3) ,

 

4) , 5) , 6) ,

 

7) , 8) , 9) ,

10) .

 

4. Решить систему линейных уравнений а) методом Крамера,

б)* методом Гаусса:

 

1) , 2) ,

 

3) , 4) ,

 

5) , 6) ,

 

7) 8) ,

 

9) 10) .

 

5. Вычислить скалярное произведение, если , , .

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) .

 

6.Даны вектора , , . Вычислить векторное произведение.

1) ;2) ;3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

 

7. Даны вектора , , , . Вычислить смешанное произведение векторов:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

 

8. Для треугольника с вершинами , , найти:

а) уравнение стороны ;

б) длину высоты ;

в) уравнение высоты .

 

Номер варианта				Номер варианта