Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
 2017-11-21 |
 393 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Найти интеграл, используя подходящую подстановку:
6.2.1. 
6.2.2. 
6.2.3. 
6.2.4. 
6.2.5. 
6.2.6. 
6.2.7. 
6.2.8. 
6.2.9. Найти интеграл с помощью подстановки, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:
1) 
2) 
Решение: 1) Представим исходный интеграл в виде разности двух интегралов:
Первый из двух последних интегралов – табличный, а во втором надо сделать подстановку 
. Тогда 
, откуда 
. Следовательно,
2) Запишем данные интегралы как разность двух интегралов:
Второй из двух полученных интегралов – табличный, а в первом сделаем подстановку 
, при этом условимся писать все вспомогательные выкладки и обозначения, относящиеся к данной подстановке, в квадратных скобках под соответствующим интегралом. В частности,
Таким образом,
Найти интегралы с помощью подстановки, предварительно преобразовав подынтегральные выражения:
6.2.10. 
6.2.11. 
6.2.12. 
6.2.13. 
6.2.14. Найти интеграл, используя подходящую подстановку 
1) 
2) 
Решение: 1) Сделаем такую замену 
, чтобы подкоренное выражение 
стало полным квадратом. Подходит, например, подстановка 
(или 
). Тогда
= 
= 
Учитывая, что 
, получим окончательно:
= 
2) Сделаем замену 
, чтобы корни извлекались нацело:
= 
Найти интегралы, используя подходящую подстановку :
6.2.15. 
6.2.16. 
6.2.17. 
6.2.18. 
6.2.19. Найти интеграл
1) 
. 2) 
. 3) 
.
.
Решение: 1) Положим 
тогда 
. Используя формулу интегрирования по частям 
, получаем 
.
2) Пусть 
, тогда 
. По формуле интегрирования по частям находим 
.
3) Положим 
; тогда 
. Применяем формулу интегрирования по частям: 
.
Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти 
, применим ещё раз интегрирование по частям. Полагаем 
; тогда 
и 
.
|
|
Найти интегралы, использую интегрирование по частям:
6.2.20. 
6.2.21. 
6.2.22. 
6.2.23. 
6.2.24. 
6.2.25. 
6.2.26. Найти интеграл 
Решение: Пусть u=ex, dv=sinxdx; тогда du=exdx, v=-cosx. Следовательно, =
=-excosx+ 
Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем еще раз проинтегрировать по частям. Приняв u=ex, dv=cosxdx, откуда du=exdx, v=sinx, получаем = - excosx+(ехsinx- - ), т.е. = - ехcosx+exsinx- .
Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом . Из этого уравнения находим
2 = - ехcosx+exsinx, т.е. = 
(sinx-cosx)+C.
Найти интегралы:
6.2.27. 
6.2.28. 
При вычислении некоторых интегралов приходится комбинировать подстановку с методом интегрирования по частям.
6.2.29. Найти интеграл 
.
Решение: Так как каждый из двухчленов 
входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:
.
Освобождаясь от знаменателей, получим 
Следовательно,
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений
из которой найдём 
.
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
.
Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае – три частных значения.
Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Применим этот приём к решению данного примера. После освобождения от знаменателя мы получили равенство 
. Действительными корнями знаменателя являются числа 1, 2 и 4. Положим, что в этом равенстве х =1, тогда 
, откуда 9=3 А, т. е. А =3. Полагая х =2, получаем 
, т. е. 
; полагая 
, имеем 
, т. е. 
. В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом,
|
|
6.2.30. Найти интеграл 
.
Решение: Множителю 
соответствует сумма трёх простейших дробей 
, а множителю 
простейшая дробь 
. Итак,
.
Освободимся от знаменателя:
.
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3. Полагая 
, получаем 
, т. е. 
. При 
имеем 
, т. е. 
.
Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, т. е. при 
. В левой части нет члена с , т. е. коэффициент при равен 0. В правой части коэффициент при равен C+D. Итак C+D= 0, откуда 
.
Остаётся определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь ещё одно уравнение. Это уравнение можно получить путём сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при 
) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая, например, 
, получаем
, или 
, т. е. 
.
Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид
.
Таким образом, получаем
6.2.31. Найти интеграл 
.
Решение: Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то её следует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, что многочлен 
обращается в нуль при 
, поэтому он делится без остатка на 
. Выполним деление:
Следовательно,
;
.
Освобождаясь от знаменателей, получим
.
Полагая , найдём 
, т. е. 
. Если 
, то получим 
, т. е. 
. При получим 
, т. е. 
.
Итак,
Разное.
Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
6.2.32. 
6.2.33. 
6.2.34. 
6.2.35 
6.2.36. 
6.2.37. 
6.2.38. 
6.2.39. 
6.2.40. 
6.2.41 
6.2.42. 
6.2.43. 
6.2.44 
6.2.45. 
6.2.46. 
6.2.47. 
6.2.48. 
6.2.49. 
6.2.50. 
6.2.51. 
6.2.52. 
6.2.53. 
Найти интегралы, предварительно преобразовав подынтегральные выражения:
6.2.54. 
6.2.55. 
6.2.56. 
6.2.57. 
6.2.58. 
6.2.59. 
6.2.60. 
6.2.61. 
Найти интегралы, используя подходящую подстановку 
:
6.2.62. 
. 6.2.63. 
6.2.64. 
6.2.65. 
.
6.2.66. 
6.2.67. 
Найти интегралы, используя интегрирование по частям:
6.2.68. 
6.2.69. 
6.2.70. 
6.2.71. 
6.2.72. 
6.2.73. 
6.2.74 
6.2.75. 
6.2.76. 
6.2.77. 
6.2.78. 
6.2.79. 
Разное.
Вычислить неопределенный интеграл
6.2.80. 
6.2.81. 
6.2.82. 
6.2.83. 
6.2.84. 
6.2.85. 
6.2.86. 
6.2.87. 
6.2.88. 
6.2.89. 
6.2.90. 
6.2.91. 
6.2.92. 
6.2.93. 
6.2.94. 
6.2.95. 
6.2.96. 
6.2.97. 
6.2.98. 
6.2.99. 
6.2.100. 
6.2.101. 
6.2.102. 
6.2.103. 
6.2.104. 
6.2.105. 
|
|
6.2.106. 
6.2.107. 
6.2.108. 
6.2.109. 
6.2.110. 
6.2.111. 
6.2.112. 
6.2.113. 
6.2.114. 
|
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!