Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-28 | 927 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события X < х (где X – значение непрерывной случайной величины, а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:
F (x) = Р (Х < х).
Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:
f (x) = F' (x).
Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (х 1, х 2) равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
P (x 1< X < x 2) = F (x 2) – F (x 1). (4)
3.1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
Найти плотность вероятности f (x) и вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).
Решение. Плотность вероятности находим по формуле f (x) = F' (x):
Вероятности попадания случайной величины X в интервалы вычисляем по формуле (3.1):
Р (1 < X < 2,5) = F (2,5) – F (1) = 0,52 – 0 = 0,25;
Р (2,5 < X < 3,5) = F (3,5) – F (2,5) = 1 – 0,25= 0,75.
3.2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F (х) и построить ее график.
Решение.
если ,
,
если
если х > 2.
График функции представлен на рис. 3.1.
Рис. 3.1
3.3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде
Найти параметр С.
Решение. На основании равенства
имеем:
.
Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
|
М (Х) = Мх = ,
где f (x) – плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
D (X) = Dx = .
Для определения дисперсии может быть также использована формула
Dx= .
Модой М 0(Х) непрерывной случайной величины X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Мe (Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, при котором выполняется равенство
Р (Х < Me) = Р (Х > Me).
3.4. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x) = х /2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. На основании формулы
имеем:
3.5. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x) = x /8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание.
3.6. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x) = при . Найти математическое ожидание.
3.7. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x) = С (х 2 + 2 х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f (x) = 0. Найти параметр С.
Решение. Так как
то:
Откуда С = .
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [ а, b ], если ее плотность вероятности имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями
3.8. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения F (x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид:
Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле:
,
запишется следующим образом:
Математическое ожидание будет равно Мх = (1 + 6)/2 = 3,5. Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
Dx = (6 – 1)2/12 = 25/12, .
Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
|
где Мх – математическое ожидание;
– среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится по формуле
Р (а < X < b) = Ф – Ф = Ф(z 2) – Ф(z 1), (5)
где Ф(z) = – функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в Приложении 2.
3.9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно Мх = 5, дисперсия равна Dx = 9. Написать выражение для плотности вероятности.
3.10. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
Решение. Используем формулу (21.2), учитывая, что Мх = 12, = 2:
Р (14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).
По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. После подстановки получаем значение искомой вероятности:
Р (14 < Х < 16) = 0,1359.
3.11. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.
Решение. Так как Р (х 1 < Х < х 2) = р = 2Ф((х 2 – Мх)/ ), то Ф(z) = р /2 = 0,4986. По таблице функции Лапласа находим значение z, соответствующее полученному значению функции Ф(z) = 0,4986: z = 2,98. Учитывая то, что z = (х 2 – Мх)/ , определяем = х 2 – Мх = z = 3 · 2,98 = 8,94. Искомый интервал будет иметь вид (11,06; 28,94).
Показательное распределение
Распределение непрерывной случайной величины X называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины описывается функцией:
где – положительное число.
Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид:
3.12. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Решение. Для решения задачи используем формулы математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:
,
Учтем, что f (x) = F' (x). Тогда получим:
Подставим в выражение для математического ожидания
.
Интегрируя по частям, получаем Мх = 1/ , или Мх = 1/0,1.
|
Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое. В результате получим:
.
Учтем найденное выражение для Мх. Откуда
.
В данном случае Мх = 10, Dx = 100.
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!