Математическое ожидание и дисперсия

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида:

М (Х) = x ₁ р ₁ + x ₂ p ₂ +... + x_np_n = , (2)

где x_i – возможные значения дискретной случайной величины;

p_i – вероятность появления значения x_i.

Свойства математического ожидания:

1. М (СХ) = СМ (Х); М (С) = С,

где С – произвольная постоянная величина.

2. М (Х ₁ Х ₂··· Х_n) = М (Х ₁) М (Х ₂)··· М (Х_n),

если X ₁, Х ₂,..., Х_n – взаимно независимые случайные величины.

3. М (Х ₁ + Х ₂ +... + Х_n) = М (Х ₁) + М (Х ₂) +... + М (Х_n).

4. М (Х) = nр,

где X – дискретная случайная величина;

n – число испытаний с биномиальным законом распределения;

р – вероятность появления события в одном испытании.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = М (Х – М (Х))².

Дисперсию целесообразно вычислять по формуле

D (X) = М (Х ²) – (М (Х))². (3)

Свойства дисперсии:

1. D (C) = 0; D (CX) = C ² D (X),

где С – произвольная постоянная.

2. D (Х ₁ + Х ₂ +... + Х_n) = D (X ₁) + D (X ₂) +... + D (X_n),

где X_i – независимые случайные величины.

3. D (X) = npq,

где X – дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения;

n – число испытаний;

р, q – вероятность появления и вероятность непоявления события в одном испытании соответственно.

4. (Х) = ,

где (Х) – среднее квадратичное отклонение.

2.5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

 

X
р	0,4	0,2	0,1	0,3
Y
Р	0,5	0,2	0,3

 

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2 Х + 3 Y.

Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y – независимые случайные величины, имеем:

M (Z) = М (2 Х + 3 Y) = М (2 Х) + М (3 Y) = 2 М (Х) + 3 М (Y);

D (Z) = D (2 X + 3 Y) = D (2 X) + D (3 Y) = 4 D (X) + 9 D (Y).

По формуле (2.2) вычислим М (X) и M (Y):

М (Х) = 2 · 0,4 + 4 · 0,2 + 6 · 0,1 + 8 · 0,3 = 4,6;

М (Y) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 = 0,8.

Тогда:

M (Z) = 2 · 4,6 + 3 · 0,8 = 11,6.

По формуле (2.3) вычислим D (X) и D (Y). Вначале найдем М (Х ²) и M (Y ²):

М (Х ²) = 4 · 0,4 + 16 · 0,2 + 36 · 0,1 + 64 · 0,3 = 27,6;

М (Y ²) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 = 1,4.

Затем определим D (X) и D (Y):

D (X) = M (X ²) – (М (Х))² = 27,6 – 4,6² = 6,44;

D (Y) = M (Y ²) – (М (Y))² = 1,4 – 0,8² = 0,76.

Окончательно получим

D (Z) = 4 · 6,44 + 9 · 0,76 = 32,6.

2.6. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2: 3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90 %, а на втором – 80 %. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины X – числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок. Вероятность появления события А – куплена банка с продукцией высшего качества – найдем по формуле полной вероятности:

Р (А) = 0,9(2/5) + 0,8(3/5) = 0,84.

Закон распределения случайной величины X можно определить, используя формулу Бернулли:

.

Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее распределения (с учетом того, что p = 0,84, q = 0,16) примет вид:

 

X
р	0,004	0,066	0,337	0,593

Тогда:

М (Х) = 0 · 0,004 + 1 · 0,066 + 2 · 0,337 + 3 · 0,593 = 2,519,

D (X) = 1 · 0,066 + 4 · 0,337 + 9 · 0,593 – 2,519² = 0,406,

.

 

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ