Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-11-27 | 342 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Определение. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности задано в явной форме , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид
, (6.1)
а уравнение нормали –
. (6.2)
Если уравнение поверхности задано в неявной форме , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид
. (6.3)
Уравнение нормали
. (6.4)
Указания к задаче 6.
6.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке А(1,2,7).
Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид (6.1)
,
а уравнение нормали (6.2) –
.
Найдем значения частных производных в точке М:
, .
Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали, получим
или - уравнение касательной плоскости, - уравнение нормали.
6.2. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке А(1,0,3).
Решение. Если уравнение поверхности задано в неявной форме , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид (6.3)
.
Уравнение нормали (6.4)
.
Найдем значения частных производных в точке М:
, , .
Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали, получим
или - уравнение касательной плоскости, - уравнение нормали.
Градиент и производная по направлению
Пусть функция определена в окрестности точки и пусть - вектор, исходящий из этой точки. На векторе возьмем точку .
|
Определение. Производной функции по направлению в точке называется предел (если он существует)
,
где .
Определение. Градиентом функции в точке называется вектор, проекциями которого являются значения частных производных функции в этой точке, т.е.
. (7.1)
Замечание. Аналогично определяются производная по направлению и градиент функции переменных .
Градиент и производная по направлению связаны между собой соотношением
, (7.2)
т.е. производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор .
Указания к задаче 7.
Даны: функция , точка и вектор .
Найти: 1) в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора .
Решение.
Найдем в точке А, для этого вычислим и в точке А. Имеем:
,
.
Таким образом, .
Для нахождения производной функции в направлении вектора воспользуемсяформулой (7.1). Для этого найдем единичный вектор , тогда
.
8. Экстремум функции нескольких переменных
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , в которой для всех точек () выполняется неравенство (соответственно ).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом, а точки, в которых функция имеет экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума).
Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке
.
Точки, в которых выполняются эти условия, называются стационарными точками функции .
Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка функции , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и все ее вторые частные производные непрерывны в точке . Тогда:
если второй дифференциал при любых значениях , не равных одновременно нулю, то функция имеет в точке минимум (максимум);
если принимает значения разных знаков в зависимости от , то экстремума в точке нет;
|
если для набора значений , не равных нулю одновременно, то требуются дополнительные исследования.
Рассмотрим случай функции двух переменных.
Определение. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , в которой для всех точек отличных от , выполняется неравенство .
Необходимое условие экстремума функции двух переменных. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т.е.
,
. (8.1)
Введем обозначения:
, , , . (8.2)
Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть - стационарная точка функции и пусть в окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда:
если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при ;
если , то экстремум в точке отсутствует;
если , то требуются дополнительные исследования.
Рассмотрим случай функции трех переменных.
Критерий Сильвестра. 1) Для того, чтобы выполнялось неравенство при любых значениях , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы:
, , .
2) Для того, чтобы выполнялось неравенство при любых значениях , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы:
, , .
Следует помнить, что все производные здесь вычислены в точке .
Указания к задаче 8.
Найти экстремумы функции двух переменных .
Решение.
По необходимому условию экстремума, если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю.
Найдем стационарные точки функции :
, .
Решая данную систему, получаем две стационарные точки (1,-3), (-1,-3).
Воспользуемся достаточным условием экстремума функции двух переменных. По формулам (8.2) найдем , , , .
Рассмотрим точку (1,-3): , , . Так как , то точка (1,-3) является точкой экстремума, а именно минимума, так как . Найдем минимум функции: .
Рассмотрим точку (-1,-3): , , . Так как , то в точке (-1,-3) экстремума нет.
Условный экстремум
Пусть требуется найти экстремум функции при условии, что связаны уравнением
, . (9.1)
Уравнения (9.1) называются уравнениями связи.
Определение. Функция имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , в которой для всех точек (), удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство (соответственно ).
|
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа
,
называются множителями Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума. Если функция имеет условный экстремум в точке , то в этой точке
.
Для нахождения точки, в которой возможен условный экстремум, составим систему уравнений:
, (9.2)
из которой найдем неизвестные , .
Достаточное условие условного экстремума. Пусть , решения системы (9.2), удовлетворяющие уравнениям при . Функция имеет в точке условный максимум, если
и условный минимум, если
.
В случае функции двух переменных при уравнении связи функция Лагранжа примет вид
.
Система (9.2) запишется в виде
Пусть - любое из решений этой системы и
.
Тогда, если , то функция имеет в точке условный максимум; если – условный минимум.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!