Электромагнитные явления в металлическом цилиндре

Так как математическое выражение решения уравнений через комплексные функции достаточно сложно, дадим графическую интерпретацию уравнений магнитного и электрического полей в сплошном цилиндре в виде зависимости относительного модуля комплексных векторов напряженности магнитного поля

| H _z | _r = | H _z | _R /| H _z |_пврх = χ₁(2 R / D _м; D _м/δ_экв.м)

и напряженности электрического поля или, что то же самое, комплексного вектора плотности тока проводимости

| E _ψ| _r = | J _ψ| _r = χ₂(2 R / D _м; D _м/ δ_экв.м)

от относительного радиуса сплошного металлического цилиндра
R_r = 2R/D _м(рис. 82). При этом следует иметь в виду, что значение
R_r = 0 соответствует оси сплошного цилиндра, a R_r = 1 – его поверхности. Для сравнения на рис. 82 в виде штриховой линии нанесены графики относительных модулей векторов для случая падения плоской электромагнитной волны на поверхность массивного проводника при той же частоте, которая соответствует D _м/δ_экв.м = 14. Эти кривые достаточно близки друг к другу, что является основанием применять закономерности распространения плоской волны в полуограниченном теле и для случая индукционного нагрева цилиндрических тел при условии D _м/ δ_экв.м ≥ 14.

Рис. 82. Распределение в металлическом цилиндре относительных величин модулей напряженности электрического | Е | _r и магнитного
| Н | _r полей, а также плотности тока проводимости | J | _r; числа
у кривых – значения D _м/δ_экв.м; штриховые
кривые – экспоненты, построенные для D _м / δ_экв.м = 14

Поток электромагнитной энергии, которую несёт цилиндрическая волна через поверхность s _м = π D _м h _мк оси цилиндра («металла»), также определяют по вектору Пойнтинга. Скалярное выражение этого вектора позволяет получить формулы для определения:

активной мощности, выделяющейся в «металле», кВт:

*, (150)

где h _м– высота цилиндра (глубина жидкого металла в тигле), м;
k _{м P} – коэффициент активной мощности, характеризующий усло- вия затухания цилиндрической волны в «металле» (см. рис. 82) в отличие от плоской волны и зависящий от относительного диаметра цилиндра D _м/δ_экв.м (рис. 83);

реактивной мощности, возникающей в «металле», квар:

,^* (151).

где k _{м Q} − коэффициент реактивной мощности, характеризующий условия затухания цилиндрической волны в «металле» (см. рис. 82) в отличие от плоской волны и зависящий от относительного диаметра цилиндра D _м/δ_экв.м (см. рис. 83).

Рис. 83. Кривые для определения коэффициентов при расчете потоков активной k м Р и реактивной k м Q мощностей, проходящих через поверхность металлического цилиндра диаметром D м

Положение перегиба кривых определяется величиной аргумента æ = D _м/δ_экв.м. В частности, полагая пределом уменьшения относительного диаметра металла значение æ = 10, можно получить формулу для минимально возможной частоты, Гц:

. (152)

Если вместо одного цилиндра диаметром D _мнагревать совокупность N цилиндров диаметром D _ц каждый, при прочих равных условиях можно получить увеличение активной мощности (NР _ц >> Р _м)из-за увеличения «активной» поверхности, когда (N π D _ц h _м) >> (π D _м h _м). Однако для ИТП данной вместимости т _опри увеличении числа цилиндров N диаметр каждого цилиндра D _ц, равный ,уменьшается, изменяя D _м/δ_экв.м и k _{м P} (см. рис. 83), в результате чего активная мощность, выделяющаяся в такой «металлошихте», снизится. Таким образом, для данных ρ_м, μ _r и f должен существовать D _ц, обеспечивающий максимальное значение Р _м для ИТП заданных размеров.

Теоретические и экспериментальные исследования Г.И. Бабата показали, что максимум активной мощности, выделяемой в шихте, зависит не только от определенного соотношения между размерами кусков шихты и частотой, но и от самой формы кусков:

цилиндр диаметром D _цл D _цл/δ_экв.м ≈ 3,5;

пластина толщиной Δ Δ/δ_экв.м ≈ 2,5;

немагнитный шар диаметром D _ш D _ш/δ_экв.м ≈ 4,8;

ферромагнитный шар диаметром D _ш D _ш/δ_экв.м ≈ 2μ _r.

У ИТП вследствие разнообразия размеров и неправильной формы кусков шихты оптимальные соотношения приходится подбирать экспериментально для каждой вместимости m _о.