Алгебраическая запись комплексного числа

Определение. Выражение a+ bi, где а и b - действительные числа, a i – мнимая единица, называется комплексным числом, записанным в алгебраической форме. Число a называется действительной частью, а b – мнимой. "Мнимые" числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а=0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b=0). Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i = -1, т.е.

i²⁼-1, (1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами. Отсюда названия: "мнимая единица", "мнимое число" и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы они согласовывались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. Действительное число а записывается также в виде а+0i.

Примеры. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись -2 + 0i означает -2. Комплексное число вида 0 + bi называется "чисто мнимым". Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a+bi, a'+b'i считаются равными, если у них соответственно равны действительная и мнимая часть, т. е. Если a'=a, b=b'. В противном случае комплексные числа не равны.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексные числа можно изобразить в декартовой системе координат. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число а + bi мы изображаем точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е. действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой.

Примеры. На рис.2 точка A с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка B (-4,-5) изображает комплексное число -4 - 5i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид а+0i) изображают точками оси ОХ, а чисто мнимые точками оси ОУ.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А' на рис. 2 изображают сопряжённые числа

3 +5i и 3 -5i.

Комплексные можно изображать также отрезками или векторами, начинающимися в точке O и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости (при изучении течения жидкости, задач теории упругости).

Тригонометрическая форма комплексного числа

 

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a+bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами: a=r cos q; r=a/cos q; b=r sin q; r=b/sin q.

г - длина вектора (а+bi), q - угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cosq+ isinq), где

r> 0, т.е. z=a+ bi или z=rcos q+ rsin q

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или тригонометрической формой комплексного числа.

 

Действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой комплексных чисел а+ bi и a'+b'i называют комплексное число (а+ а') + (b+ b')i. Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4- 8i)=l - 3i.

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i обозначает то же, что и 2 наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью комплексных чисел а+bi и а’+bi называется комплексное число (а- а') + (b- b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) -(3- 5i) = -8 + 7i.

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением комплексных чисел а+bi и a'+b'i называется комплексное число (аа' – bb') + (ab' + ba')i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i²= -1

Пример. (1 - 2i)(3 + 2i)=3 - 6i + 2i - 4i² =3 - 6i + 2i + = 7- 4i.

Деление комплексных чисел

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Чтобы разделить комплексное число a+bi на комплексное число

а' + b'i необходимо найти такое число x+yi, которое в произведении с a^’+b’ даст a+ bi

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряжённое со знаменателем

Пример 1. Найти частное (7 - 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7- 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i.

Получим: ((7-4i)(3-2i))/((3+2i)(3-2i))=(13-26i)/13=1-2i.

 

Формулы Эйлера и Муавра

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (cosj+isinj)ⁿ =cos(jn)+isin(nj). Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: e^ix=cosx+isinx , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что е^ip= -1. Таким образом можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.С помощью формулы Муавра выводится формула извлечения корня из комплексного числа.

Определение. Корнем n-й степени (n - натуральное число) из числа z называется такое число w, что wⁿ=z.

Покажем, что действие извлечения корня во множестве комплексных чисел всегда выполнимо, и найдём значение w= . Положим z=r(cosj+isinj), r>0 w=r(cosy+isiny), r>0. Тогда

r ⁿ= (cos ny+isin ny) =r (cosj+isinj), rⁿ=r, ny=j+2pk, k- целое, откуда

r= , и .

Приложение комплексных чисел в науке

В качестве приложения рассмотрим формулу Муавра. Она имеет большое практическое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы косинусы углов (nx), где n- любое целое число, через простые функции sin x и cos x

Формула: (cosj+sinji)ⁿ= cosnj+ isinnj,

где i-мнимая часть комплексного числа, i²= -1

Пример.
cos3q+ isin3q=(cosq + isinq)³= oos³q + 3i cos²q sinq + 3i² cosq sin²q +i³sin³q=

= cos³q – 3cosq sin²q + i(3cos²q sinq-sin³q)

 

Учитывая, что cosq – действительная часть, а sinq - мнимая получаем:

cos3q=cos³q - 3cosq sin²qsin3q=3cos²q sinq-sin³q

Таким же образом можно преобразовать sin4x, cos4x (sin5x, соз5х ит.д.) до выражений, содержащих sinx и соsx.

 

Применение комплексных функций действительного аргумента позволяет компактно изложить ряд вопро­сов из области кинематики и динамики.

Пусть точка Z перемещается по плоскости. Выбрав прямоугольную систему координат хОу, можем считать, что движение происходит по комп­лексной плоскости, а точка Z имеет комплексную коор­динату z = x + iy, причем x =x(t), y = y(t), z = z(t). В каждый момент вре­мени t точка Z будет иметь определенную скорость u(t), причем ее компоненты равны x(t) и y(t). Следовательно, в каждый момент времени t скорость точки Z характеризуется комплексным числом x(t)+iy(t), которое можно записать так: z(t). Аналогично ускорение w точки Z в каждый момент времени t зада­ется комплексным числом

z(t) = x(t) + iy(t).

Числа z(t) и z(t) будем называть комплексной скоростью и комплексным ускорением точки Z.