Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии.

Задача. Уточнить корень уравнения sin2x-lnx=0,если функция f(x)=sin2x-lnx непрерывна на отрезке [1;1,5 ] и имеет на нем единственный корень.

Решение проведем, используя формулы (1) и (2).

Результат:

Корень: x=1,399429.

 

Алгоритм уточнения корня уравнения методом простой итерации.

Задача. Уточнить корень уравнения x*x*x – x – 1, отделенный на отрезке [1, 2] методом простой итерации с точностью 10^-4.

 

Решение. Приведем уравнение к итерационному виду. Учитывая |f’(x)|=11, примем q=7. Используя формулы (3) и (4), получим:

x _n+1 = x _n – f(x)/7

 

	A	B	C	D	E
			МЕТОД ИТЕРАЦИЙ
	№	x	f(x)	f1(x)	1-f(x)/k
			=B5*B5*B5-B5-1	=3*B5*B5-1	=ABS(1-D5/F$2)
		=B5+0,1	=B6*B6*B6-B6-1	=3*B6*B6-1	=ABS(1-D6/F$2)
		=B6+0,1	=B7*B7*B7-B7-1	=3*B7*B7-1	=ABS(1-D7/F$2)
		=B7+0,1	=B8*B8*B8-B8-1	=3*B8*B8-1	=ABS(1-D8/F$2)
		=B8+0,1	=B9*B9*B9-B9-1	=3*B9*B9-1	=ABS(1-D9/F$2)
		=B9+0,1	=B10*B10*B10-B10-1	=3*B10*B10-1	=ABS(1-D10/F$2)
		=B10+0,1	=B11*B11*B11-B11-1	=3*B11*B11-1	=ABS(1-D11/F$2)
		=B11+0,1	=B12*B12*B12-B12-1	=3*B12*B12-1	=ABS(1-D12/F$2)
		=B12+0,1	=B13*B13*B13-B13-1	=3*B13*B13-1	=ABS(1-D13/F$2)
		=B13+0,1	=B14*B14*B14-B14-1	=3*B14*B14-1	=ABS(1-D14/F$2)
		=B14+0,1	=B15*B15*B15-B15-1	=3*B15*B15-1	=ABS(1-D15/F$2)

продолжение таблицы

	F	G	H
		K
	xx	f(xx)	g=x-f(x)/k
		=F5*F5*F5-F5-1	=F5-G5/F$2
	=H5	=F6*F6*F6-F6-1	=F6-G6/F$2
	=H6	=F7*F7*F7-F7-1	=F7-G7/F$2
	=H7	=F8*F8*F8-F8-1	=F8-G8/F$2
	=H8	=F9*F9*F9-F9-1	=F9-G9/F$2
	=H9	=F10*F10*F10-F10-1	=F10-G10/F$2
	=H10	=F11*F11*F11-F11-1	=F11-G11/F$2
	=H11	=F12*F12*F12-F12-1	=F12-G12/F$2
	=H12	=F13*F13*F13-F13-1	=F13-G13/F$2
	=H13	=F14*F14*F14-F14-1	=F14-G14/F$2
	=H14	=F15*F15*F15-F15-1	=F15-G15/F$2
	=H15	=F16*F16*F16-F16-1	=F16-G16/F$2
	=H16	=F17*F17*F17-F17-1	=F17-G17/F$2

Результат:

	A	B	C	D	E	F	G	H
			МЕТОД ИТЕРАЦИЙ
							K
	№	x	f(x)	f1(x)	1-f(x)/k	xx	f(xx)	g=x-f(x)/k
			-1		0,71429		-1	1,143
		1,1	-0,769	2,63	0,62429		-0,65015	1,236
		1,2	-0,472	3,32	0,52571		-0,34872	1,286
		1,3	-0,103	4,07	0,41857		-0,16099	1,309
		1,4	0,344	4,88	0,30286		-0,06791	1,318
		1,5	0,875	5,75	0,17857		-0,02741	1,322
		1,6	1,496	6,68	0,04571		-0,01085	1,324
		1,7	2,213	7,67	0,09571		-0,00426	1,324
		1,8	3,032	8,72	0,24571		-0,00167	1,325
		1,9	3,959	9,83	0,40429		-0,00065	1,325
					0,57143		-0,00026	1,325
							-1E-04	1,325
							-3,9E-05	1,325

Алгоритм решения на языке TMTPascal.

Задача. Решить уравнение итерационного вида x-0.5*(x*x*x-sin(x))=0, уточнить корень на отделенном отрезке.

program metod_prostoy_iterazii;

var a,b,x,y,eps: real;

i: byte;

BEGIN

write('Vvedite tocnost:','eps=');read(eps);

write('a=');read(a);

write('b=');read(b);

x:=a+0.1;

i:=0;

while abs(y-x)>=eps do

begin

i:=i+1;

y:=x-0.5*(x*x*x-sin(x));

x:=y;

end;

writeln('x=',x:10:3);

write('shag:',i);

END.

 

Алгоритм уточнения корня уравнения методом Ньютона.

Задача. Уточнить корень уравнения sin2x-lnx=0 методом Ньютона на отрезке [1,3;1,5] с точностью 10^-4.

Решение. Для проверки точности положим m=2,4. Используя формулы (5) и (6), получим:

Результат:

Корень: x=1,39943.

 

Алгоритм уточнения корня уравнения методом хорд.

Задача. Уточнить корень уравнения sin2x-lnx=0 методом хорд на отрезке [1,3;1,5] с точностью 10^-4.

Решение. Определим точки с=1,5 и x0=1,3. Используя формулы (6), (7), (8) и принимая m=2,4, получим:

Результат:

Корень: x=1,3994104.

 

Практическая часть

План решения нелинейного уравнения

Отделить корни, выбрать один отрезок длинной 1 или менее.

1. Представить уравнение в виде f(x)=0, найти отрезок (а: б).

2. Выбрать метод уточнения, обосновать выбор (f’, f” в точках (а: б); определить неподвижную точку метода хорд и точку касания).

3. Составить расчетную формулу метода.

4. Выполнить расчеты по формуле; построить графики.

5. Ответ (последовательность приближенных решений с округленным последним значением).

 

Задание 1. Отделить корни и уточнить методом хорд, методом секущих, методом итераций с точностью 0,001.

 

N	f(x)	N	f(x)

 

Задание 2. Уточнить корень уравнений g(x)=0, отделенный на указанном отрезке, комбинированным методом

 

№ варианта	g(x)	[ a, b ]
		[5,25]
		[0.1,10]
		[0.1,2]
		[0,3]
		[0,2]
		[0,3]
		[0.001,3]
		[0.1,35]
		[0.01,3]
		[-0.5,1.5]
		[-1.5,0]
		[1,3]
		[0,3]
		[0,5]

 

Вопросы к защите лабораторной работы №2

«Решение нелинейных уравнений».

 

1. Постановка задачи решения нелинейных уравнений. Основные этапы решения задачи.

2. Итерационное уточнение корней: порядок сходимости метода.

3. Метод бисекции: описание метода, скорость сходимости, критерий окончания.

4. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения: описание метода, условие и скорость сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация, приведение к виду, удобному для итераций.

5. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения: описание метода, теорема о сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация.

6. Метод секущих: описание метода, теорема о сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3