Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-11-16 | 711 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим линейный оператор A из пространства , где – линейные векторные пространства размерности n и m над общим полем P.
Фиксируем какой-нибудь базис, в пространстве и базис
В силу линейности оператора A:
, поэтому A полностью определяется своим действием над базисными векторами .
Разложим образы базисных векторов по базису пространства образа, т.е. базисные векторы пространства по базису
где j=1, (от 1 до n)
⇒ равенство в матричной форме:
Матрица возникшая справа, называется матрицей линейного оператора А в паре базисов и
Матрица, составленная из координатных столбцов векторов ,называется матрицей линейного оператора.
Пример: Пусть A: L → – оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени < или =2.
Рассмотрим 2 базиса:
,
,
Очевидно: A(1+t) = 1
A(t-1) = -1
A( =2t
Поэтому в паре базисов и матрица линейного оператора имеет вид:
Какой будет матрица того же оператора, если L’=L и выбрать базис
Теорема. Пусть - линейный оператор. Тогда столбец y координат вектора в данном базисе линейного пространства L равен произведению матрицы Аэтого оператора на столбец x координат вектора x в том же базисе.
Переход к другим базисам.
Пусть - матрица оператора A. Найдем матрицу , того же оператора к другой паре базисов. Рассмотрим равенства:
Согласно определению матрицы и находим:
Найдем матрицы перехода:
⇒x=Sz
y=Tu (2)
⇒
⇒
(
⇒
Напомним определение эквивалентных матриц (A и B называются эквивалентными, если B=P*A*Q, для P и Q – какие-то невырожденные матрицы.
Утверждение: - матрицы эквиваленты в том, и только в том случае, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в каких то парах базиса.
|
Для того, чтобы матрицы одинаковых размеров были матрицами одного и того же линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.
Обратный оператор.
Оператор A из L→ называется обратным, если существует оператор B: →L, такой что A(B(y))=y, ∀y ∈ ; B(A(x))=x, ∀x∈L, при этом B называется обратным оператором для A.
Если линейный оператор обратим, то обратный оператор так же линейный.
Теорема. Пусть A:L→ , линейный оператор, а L и – конечномерные пространства одинаковой размерности, то А является обратимым оператором, тогда и только тогда, когда ядро оператора А состоит из нулевого вектора: kerA ={0}
Замечание. Если линейный оператор A: L→ , обратим, то обязательно множество является образом оператора А = imA
Замечание. В тоже время условие , равное образу А ( = imA) не всегда говорят о том, что оператор А обратим.
Если не вырожденный линейный оператор А пространства L в некотором базисе задается матрицей А (так же не вырождена), то обратный оператор задается в этом же базисе матрицей .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!