Определение цены и доходности облигации с учетом налоговых и комиссионных платежей

До настоящего момента мы определяли значения цены и доходности облигаций, не учитывая тот факт, что по ним могут взиматься налоги и выплачиваться комиссионные вознаграждения брокерским компаниям.

Данные поправки легко сделать, скорректировав соответствующим образом формулы определения цены и доходности, рассмотренные выше. Корректировка формул заключается в том, что получаемую прибыль уменьшают на величину взимаемых налогов и на размер уплаченных комиссионных. В качестве затрат учитывается не только цена, по которой покупается бумага, но и комиссионные брокерской фирмы. Приведем пример такой корректировки для ГКО:

где: Tax – ставка налога на ГКО (ставка налога подставляется в формулу в десятичном значении;

k – комиссионные платежи как процент от суммы сделки (также в десятичных значениях).

Дюрация

Дюрация (duration) является важнейшей характеристикой потока платежей, определяющей его чувствительность к изменению процентной ставки. Расчет дюрации осуществляется по формуле:

,

где: D – дюрация,

C – купон облигации,

N – номинал облигации,

n – число лет до погашения облигации,

r – доходность до погашения,

P – цена облигации.

Как следует из данной формулы дюрация представляет собой оценку средней срочности потока платежей с учетом дисконтирования стоимости отдельных выплат. Также важно отметить, что дюрация потока зависит не только от его структуры, но и от текущей процентной ставки. Чем выше ставка, тем меньше стоимость дальних выплат по сравнению с короткими и тем меньше дюрация, и наоборот, чем меньше ставка тем больше дюрация потока платежей.

Для оценки чувствительности стоимости потока платежей к процентной ставке используется так называемая модифицированная дюрация, расчет которой производится по формуле:

,

где: MD – модифицированная дюрация.

С использованием модифицированной дюрации зависимость изменения текущей стоимости потока платежей (P) от изменения процентной ставки (r) выражается формулой:

Модифицированная дюрация, умноженная на текущую стоимость является первым коэффициентом разложения функции текущей стоимости потока платежей в ряд Тейлора по процентной ставке.

Следует отметить, что возможно обратное определение модифицированной дюрации и дюрации как коэффициента, характеризующего связь между изменением процентной ставки и изменением текущей стоимости потока платежей:

При таком подходе дюрация может оказаться отрицательной величиной, т.к. существуют потоки платежей (например, определённые виды облигаций с плавающим купоном), стоимость которых растет вместе с ростом процентных ставок.

Дюрация, в том числе модифицированная, имеет следующие характеристики:

1) Она меньше времени до погашения облигации или равна ей в случае облигации с нулевым купоном. Модифицированная дюрация бескупонной облигации также меньше времени до ее погашения.

2) Как правило, чем меньше купон облигации, тем больше дюрация, так как больший удельный вес выплат по облигации приходится на момент ее погашения. Чем выше купон облигации, тем меньше ее дюрация.

3) При прочих равных условиях, чем больше время до погашения облигации, тем больше дюрация.

4) Чем больше дюрация, тем выше риск изменения цены облигации.

5) При повышении доходности до погашения дюрация уменьшается, при понижении доходности до погашения дюрация возрастает.

Изгиб

При исследовании чувствительности потока платежей к процентной ставке только с помощью дюрации зависимость между процентной ставкой и стоимостью потока платежей считается линейной. В качестве грубой оценки это приемлемо. Для более точной оценки изменения цены облигации следует учесть такой показатель как изгиб (convexity), обозначим его через Conv. Выпуклость потока платежей (изгиб) характеризует степень отклонения формулы стоимости потока платежей от линейной, представляя собой второй коэффициент разложения функции текущей стоимости потока платежей в ряд Тейлора по процентной ставке. Расчет выпуклости производится по формуле:

Изгиб характеризуется следующими особенностями.

1) Его величина возрастает при уменьшении доходности до погашения и падает при его росте.

2) При данном значении доходности до погашения и времени погашения величина изгиба больше для облигаций с более низким купоном.

3) При данном значении доходности до погашения и модифицированной дюрации величина изгиба меньше для облигации с более низким купоном.

4) Величина изгиба возрастает в большей степени чем при росте дюрации.