Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-16 | 287 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод разделения переменных носит также название метода Фурье и является наиболее распространенным методом решения уравнений с частными производными. Рассмотрим его на примере струны с закрепленными концами. Уравнение колебаний
(70)
Граничные условия
, (71)
Начальные условия
, (72)
Будем искать решение в виде произведения функции зависящей только от x и только от t:
(73)
Подставляя (73) в (70) получаем
Разделив левую и правую часть нашего равенства на произведение XT:
(74)
В (74) левая часть является функцией только x, правая часть – только t, причем оно должно выполняться во всей области значений переменных. Это возможно только в том случае если правая и левая часть равны некой константе:
(75)
В результате получаем ОДУ для нахождения неизвестных функций X и T:
(76)
(77)
Из граничных условий
Таким образом для нахождения функции X(x) мы получили задачу на собственные функции и собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля):
Найти значения параметра λ (собственные значения), при которых существуют нетривиальные решения задачи
(78)
А также соответствующие им решения – собственные функции.
Рассмотрим возможные значения параметра λ.
1. λ<0
в этом случае общее решение уравнения (78) ищем в виде:
Тогда:
Подставляем в (78):
Отсюда
И в результате общее решение имеет вид
Из граничных условий
Из первого уравнения находим , подставляем во второе
Отсюда получаем , тогда .
Таким образом, мы показали, что при λ<0 задача не имеет нетривиальных решений.
2.
λ=0. в этом случае тоже не возникает нетривиальных решений.
3.
λ>0. В этом случае общее решение имеет вид
Из граничных условий находим
Отсюда ,
|
Где n любое целое число.
Таким образом нетривиальные решения нашей задачи возможны лишь при значениях
Таким образом, мы нашли собственные значения, им будут соответствовать собственные функции
Здесь - произвольная постоянная. Найденным собственным значениям соответствует решение уравнения для T:
(79)
Здесь и - произвольные постоянные. Таким образом, мы нашли частные решения исходного уравнения колебаний струны:
(80)
или
(81)
Очевидно, что сумма частных решений также будет удовлетворять исходному уравнению и граничным условиям:
(82)
Неизвестные константы надо определить из начальных условий:
, (83)
Т.е.,
(84)
(85)
Формулы (84) и (85) представляют из себя разложения функций и в ряд Фурье. Для нахождения неизвестных констант умножим левую и правую части уравнения (84) на и проинтегрируем их по dx от 0 до l:
(86)
Для вычисления интеграла в левой части последнего равенства воспользуемся тригонометрической формулой
Таким образом,
(87)
Подставляя (87) в (86), получаем
(88)
Аналогично для получаем
(89)
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!