Линейные упругие системы и их свойства

Линейные упругие системы и их свойства

Обобщенные силы и перемещения.

Упругие системы.

Линейные системы.

Матрицы жесткости и податливости.

Принцип суперпозиции.

Простейшая линейная упругая система. Потенциальная энергия.

Теоремы взаимности работ и перемещений.

Потенциальная энергия линейной упругой системы, загруженной произвольным числом обобщенных сил.

Теорема Лагранжа и теорема Кастильяно.

Удельная работа напряжений.

Потенциальная энергия упругого тела.

Соотношения между напряжениями и деформациями и12. Соотношения между напряжениями и деформациями и потенциальная энергия линейного упругого тела.

Закон Гука для изотропного упругого тела.

Термомеханические системы. (Это из термодинамики)

 

Обобщенные силы и перемещения

Линейные упругие системы и их свойства.

Обобщенные силы и перемещения.

 

Обобщенными перемещениями называют любые величины, характеризующие изменение геометрии деформируемой механической

системы.

Обобщенной силой, соответствующей Q_i данному обобщенному перемещению q_i, называют фактор, определяющий элементарную работу dA, совершаемую над механической системой на приращении обобщенного перемещения dq_i:

dW = Q_i dq_i (1)

или

dW = Q_i dq_i, (1а)

если dW – возможная (виртуальная) работа, совершаемая на возможном (виртуальном)перемещении dq _i.

 

Пример. Для балки, изображенной на рис.1, в качестве обобщенных перемещений выберем вертикальные перемещения точек А и В и угол поворота сечения С:

q₁ = v_A, q₂ = v_B , q₃ = q_C ,

тогда соответствующими обобщенными силами будут вертикальные силы P_А и P_В, приложенные в точках А и В, и момент пары сил М_с, приложенной в сечении С. Эти обобщенные силы могут иметь любые вещественные (в том числе и нулевые) значения.

Рис.1 Обобщенные силы, действующие на балку и соответствующие им обобщенные перемещения.

Упругие системы.

 

Деформируемая система называется упругой (идеально упругой), если действующие на нее обобщенные силы связаны с обобщенными перемещениями взаимно однозначными зависимостями.

Обобщенные перемещения упругой системы зависят только от текущих значений обобщенных сил и не зависят от последовательности приложения и закона изменения их во времени.

Обобщенные перемещения упругой системы принято отсчитывать от исходного ненагруженного состояния. После полной разгрузки обобщенные перемещения возвращаются к начальным нулевым значениям: упругие деформации при полной разгрузке системы исчезают.

Линейные системы.

 

Деформируемая система называется линейной упругой (линейно-упругой), если обобщенные перемещения и силы связаны линейными зависимостями.

 

Линейную зависимость между силами и перемещениями принято называть законом Гука (обобщенным законом Гука).

Линейные упругие системы следуют закону Гука.

 

Пусть состояние линейно упругой деформируемой системы характеризуется n обобщенными перемещениями q_i, которым соответствуют обобщенные силы Q_i, (i=1,2,...,n).

Линейная зависимость каждого обобщенного перемещения от всех обобщенных сил выражается соотношениями:

 

(2)

или, то же самое:

 

, i,j = 1,2,..,n. (2а)

Постоянные коэффициенты а_i,j называются коэффициентами податливости упругой системы.

 

Чем больше коэффициент податливости a_i,j, тем большее перемещение q_i, вызывается обобщенной силой Q_j.

Нагрузим упругую линейную систему силой Q_j =1, полагая, что все остальные силы равны нулю. Тогда из(2) следует:

q_i = a_ij.

 

Коэффициент податливости a_ij равен i-тому обобщенному перемещениюq_i, вызванному единичной j-той обобщенной силой Q_j =1.

Принцип суперпозиции.

 

Пусть на линейную упругую систему действуют две системы сил (Q)_A и (Q)_B. Обобщенные перемещения, вызванные каждой из этих систем сил, в соответствии с формулой (2а) будут равны:

(q)_A=(a)*(Q)_A для системы сил (Q)_A,

(q)_B=(a)*(Q) _B для системы сил (Q)_B .

Если обе системы сил действуют одновременно, то

(q)_A+B = (a)*((Q)_A + (Q) _B) = (a)*(Q)_A + (a)*(Q) _B = (q)_A + (q)_B.

Следовательно, для линейной упругой системы справедливо следующее правило:

Удельная работа напряжений.

 

Рассмотрим элементарный объем dV выделенный из тела, ограниченный поверхностью А. Выделим элемент поверхности dA, с нормалью n, на который действует напряжение S. Работа, которую совершат напряжения, действующие на поверхность А, на приращениях перемещений du определится интегралом:

dW = = (S.u) dA,

где S_x, S_y, S_z, u,v,w – проекции векторов S и du на координатные оси.

 

Рис.Р1. К вычислению работы поверхностных сил.

 

dW = = (S.u) dA,

где S_x, S_y, S_z, u,v,w – проекции векторов S и du на координатные оси. Выразим проекции вектора S через напряжения по формулам (1.6...) и преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему. Тогда, учитывая уравнения равновесия (...), (1.30), получим:

 

dW = (s_xde_x + s_yde_y +... + t_zxdg_zx ) dv = (s· ·de) dv,

 

а работа, совершаемая напряжениями, отнесенная к единице объема материала,

 

= s_xde_x + s_yde_y +... + t_zxdg_zx = (s· ·de), (17)

где (s· ·de) – двойное скалярное произведение или свертка тензора напряжений и тензора приращений деформаций.

Будем рассматривать компоненты тензора деформаций как обобщенные перемещения, характеризующие деформирование единичного объема материала. Тогда, в соответствии с (17) и определением, данным в п.1, компоненты тензора напряжений оказываются соответствующими им обобщенными силами.

Линейные упругие системы и их свойства