Задачи № 1-50. Решить задачи.

1. Шеститомное собрание сочинений Н.В. Гоголя поместили на полку в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке возрастания номеров?

2. Из урны, содержащей 8 шаров, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, вынимают наугад все шары один за другим. Найдите вероятность того, что номера извлеченных шаров будут идти в порядке возрастания.

3. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 6 чисел?

4. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет «шестерка»?

5. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «крыша». Ребенок рассыпал буквы и собрал в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что у него снова получится слово «крыша».

6. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 5 чисел?

7. Имеется 100деталей, из которых возможны 4 % бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь — бракованная?

8. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 5 чисел?

9. На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «хорда»?

10. В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.

11. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?

12. Из группы, состоящей из 10юношей и 8 девушек, выбирают по жребию 4 дежурных. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки?

13. Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 35. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет имеет номер, кратный пяти?

14. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?

15. Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки «а», «к», «н», «о», «с», «у», «ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в ряд в порядке извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «конус»?

16. На прилавке книжного магазина лежит 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 1 руб. каждая, 3 книги — по 3 руб. и 2 книги — по 4 руб. Найдите вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 5 руб.

17. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа?

18. Из числа шаров, занумерованных всеми двузначными числами, наудачу берется один. Какова вероятность того, что номер взятого шара оканчивается нулем?

19. На шести одинаковых карточках написаны буквами «а», «в», «и», «м», «п», «р». Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово «призма»?

20. Карточка «Спортлото» содержит 45 чисел. В тираже участвуют шесть чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано три числа?

21. В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбираются наугад 5 лампочек. Найти вероятность того, что среди этих пяти лампочек окажется две бракованных.

22. Полная колода карт 36 листов делится наугад на две равные пачки по 18 листов. Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по два короля.

23. В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар окажется не белым?

24. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?

25. В урне 100 шаров, помеченных номерами 1, 2, …, 100. из урны наугад внимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара содержит цифру 5?

26. В урне 9 белых шаров и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

27. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.

28. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании десяти человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желаний, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке

29. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара черные.

30. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

31. Среди 500 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 10 ампул с трещинами. Определить вероятность появления ампул, имеющих трещины.

32. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения четного числа очков.

33. Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найти вероятность рождения мальчиков.

34. При стрельбе из винтовки вероятность попадания в цель равна 0,85. Определить число попаданий, если было произведено 120 выстрелов.

35. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета.

36. На лекции присутствуют 100 студентов. Из них по математике имеют оценку «отлично» - 20 человек, «хорошо» - 50, «удовлетворительно» - 24 и «неудовлетворительно» - 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент не имеет задолженностей по математике.

37. Во время эпидемии в одном из населенных пунктов 60% жителей оказались больными. Из каждых 100 больных 10 требуют срочной медицинской помощи. Найти вероятность того, что любому взятому наугад жителю необходима строчная медицинская помощь.

38. Пусть имеются две студенческие группы по 30 человек в каждой. В первой группе 5 студентов занимаются на «отлично» и 15 студентов - на «хорошо» и «отлично». Во второй группе 8 студентов занимаются на «отлично» и 16 студентов - на «хорошо» и «отлично». Выбирают наугад группу и вызывают студента. Найти вероятность того, что вызванный студент будет отличником.

39. Некий властелин разгневался на звездочета и повелел палачу огрубить ему голову. Однако в последний момент властелин смягчился и решил дать звездочету возможность спастись. Он взял 2 черных и два белых шара и предложил звездочету произвольным образом распределить их по двум урнам. Палач должен выбрать наугад одну из. урн и наугад вытащить из нее шар. Если шар окажется белым, то звездочет будет помилован, а если черным - казнен. Как должен звездочет распределить шары по урнам, чтобы иметь наибольшее число шансов спастись?

40. На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «конец»?

41. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на 5 карточках. Наугад берут 3 карточки и кладут их в ряд. Какова вероятность того, что получится число 123?

42. Талоны, свернутые в трубочку, занумерованы всеми двузначными числами. Наудачу берут один талон. Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых цифр?

43. Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди шести билетов, взятых наугад, будет два выигрышных?

44. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

45. На полке 12 учебников. Из них 7 по математике. Студент берет наугад 5 учебников. Какова вероятность того, что взяты учебники по математике?

46. Слово «учебник» составлено из букв разрезанной азбуки. Затем карточки перемешивают и из них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность того, что эти карточки в порядке выхода, составят слово «ученик»?

47. В ящике имеется 20 изделий первого сорта и 5 изделий высшего сорта. Из ящика наугад берут 3 изделия. Какова вероятность того, что все они высшего сорта?

48. В НИИ работает 120 человек из них 70 человек знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный на удачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

49. В ящике находится 60 стандартных и 40 нестандартных деталей. Найдите вероятность того, что из взятых наудачу двух деталей одна окажется стандартной, а другая нестандартной.

50. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и 12 пар детской. Найти вероятность того, что взятая наудачу пара обуви окажется не детской.

Задачи № 1-50 Найдите М(Х), D(X), , если случайная величина Х задана законом распределения.

1.

Х
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

2.

Х	- 3
Р	0,1	0,3	0,4	0,2

3.

Х	- 2	- 1
Р	0,3	0,4	0,1	0,2

4.

Х	- 2	- 1
Р	0,3	0,2	0,1	0,1	0,3

5.

Х
Р	0,2	0,4	0,1	0,3

6.

Х
Р	0,2	0,1	0,6	0,1

7.

Х
Р	0,3	0,1	0,5	0,1

8.

Х	- 1
Р	0,2	0,1	0,25	,0,15

9.

Х	- 8	- 4	- 1
Р

10.

Х	- 2	- 1
Р

 

 

11.

Х	- 2	- 1
Р	0,2	0,1	0,15	0,25	0,3

12.

Х	- 1
Р	0,48	0,01	0,09	0,42

13.

Х	- 1
Р	0,19	0,51	0,25	0,05

14.

Х
Р	0,12	0,18	0,1	0,2	0,4

15.

Х
Р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

16.

Х
Р	0,15	0,2	0,1	0,1	0,45

17.

Х
Р	0,15	0,25	0,3	0,2	0,1

18.

Х
Р	0,04	0,06	0,12	0,16	0,44	0,18

19.

Х
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

20.

Х	0,2	0,4	0,6	0,8
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

21.

Х
У	0,05	0,15	0,2	0,25	0,35

22.

Х	- 0,04	- 0,02	0,06	0,08
Р	0,1	0,3	0,18	0,42

23.

Х	- 300	- 200
Р	0,25	0.15	0,55	0,05

24.

Х	- 1	- 2
Р	0,3	0,23	0,1	0,37

25.

Х
Р	0,2	0,05	0,05	0,4	0,3

26.

Х	-1	-2
Р	0,01	0,09	0,24	0,66

27.

Х
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

 

 

28.

Х
Р	0,1	0,4	0,3	0,2

29.

Х	4,3	5,1	10,6
Р	0,2	0,3	0,5

30.

Х
Р	0,05	0,1	0,25	0,6

31.

Х	- 2	- 1
Р	0,1	0,15	0,5	0,05	0,2

 

32.

Х
Р	0,4	0,2	0,3	0,1

33.

Х	0,3	0,4	0,6	0,7
Р	0,6	0,15	0,03	0,22

34.

Х
Р	0,11	0,24	0,55	0,9

35.

Х	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3
Р	0,21	0,19	0,4	0,13	0,07

36.

Х
Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

37.

Х	-1	-2
Р

38.

Х
Р	0,12	0,22	0,05	0,55	0,04	0,02

39.

Х	0,2	0,6		1,4
Р	0,13	0,41	0,08	0,38

40.

Х	- 2
Р	0,1	0,2	0,5	0,01	0,1	0,09

41.

Х
Р

42.

Х
Р

43.

Х	- 2	- 1
Р	0,1	0,01	0,55	0,34

44.

Х	-1
Р	0,44	0,11	0,05	0,2	0,2

 

 

45.

Х	-2
Р

46.

Х	- 1
Р	0,11	0,33	0,22	0,14	0,2

47.

Х	-2	- 1
Р	0,41	0,31	0,21	0,07

48.

Х	- 0,3	0,1	1,2	1,5		2,1
Р	0,1	0,2	0,3	0,1	0,12	0,18

49.

Х	- 0,1	-1
Р	0,05	0,15	0,25	0,35	0,2

50.

Х	- 0,2	- 0,1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Р	0,02	0,2	0,4	0,01	0,07	0,1	0,2

 

Задачи № 1-50 Задано распределение частот выборочной совокупности объема . Написать распределение относительных частот; построить полигон относительных частот.

 

23.

 

 

37.

 

 

Вопросы к экзамену.

1. Дайте определение предела функции.

2. Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой функций.

3. Сформулируйте теоремы о пределах.

4. Дайте определение производной функции.

5. В чем состоит геометрический смысл производной?

6. В чем состоит физический смысл производной?

7. Дайте определение второй производной функции.

8. В чем состоит физический смыл второй производной?

9. Напишите все формулы дифференцирования.

10. Сформулируйте условие постоянства функции.

11. Сформулируйте условия возрастания и убывания функции.

12. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума функции.

13. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума функции.

14. Как найти точки экстремума и экстремумы функции?

15. Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

16. Сформулируйте условия выпуклости и вогнутости кривой.

17. Как найти направление вогнутости и точки перегиба кривой?

18. Какое действие называется интегрированием?

19. Какая функция называется первообразной для функции ?

20. Дайте определение неопределенного интеграла.

21. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

22. Каким действием можно проверить интегрирование?

23. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

24. Дайте определение определенного интеграла.

25. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

26. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

27. Напишите формулы для определенного интеграла.

28. Какое уравнение называется дифференциальным?

29. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

30. Дайте определение общего решения и общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка.

31. Дайте определение частного решения и частного интеграла дифференциального уравнения первого порядка.

32. Какое событие называется невозможным; достоверным?

33. Какие события называются несовместными; равновозможными?

34. Какие события образуют полную систему событий?

35. Что понимается под вероятностью события?

36. Дайте классическое определение вероятности события.

37. Какие задачи решает математическая статистика?

38. Что называется полигоном частот?

39. Дайте определение генеральной, выборочной совокупности?

 

 

СОДЕРЖАНИЕ.

пояснительная записка.. 3

ЛИТЕРАТУРА.. 3

Общие методические указания.. 4

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ………………………………………………………….5

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 …………….7

Предел функции…………………………………………………………………………………………...7

Дифференциальное исчисление ………………………………………………………………………..10

Интегральное исчисление……………………………………………………………………………….22

Дифференциальные уравнения…………………………………………………………………………33

Теория вероятностей и математическая статистика…………………………………………………...39

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮРАБОТУ……………………………………………………………45

Задачи № 1 - 50. Вычислите предел функции………………………………………………………….46

Задачи № 1 - 50. Исследовать функцию и построить график…………………………………………47

Задачи № 1 - 50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями……………………………..49

Задачи № 1-50. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения, удовлетворяющие данным условиям. 50

Задачи № 1-50. Решить дифференциальное уравнение II порядка. 52

Задачи № 1-50. Решить задачи. 53

Задачи № 1-50 Задано распределение частот выборочной совокупности объема . Написать распределение относительных частот; построить полигон относительных частот. 55

Вопросы к экзамену.. 59