Однофакторный дисперсионный анализ

 

Предположим, что на автоматической линии несколько станков параллельно выполняют одинаковую операцию. Для правильного планирования последующей обработки важно знать, насколько однотипны средние размеры деталей, получаемые на параллельно работающих станках. Здесь имеет место лишь один фактор, влияющий на размер деталей, это станки, на которых они изготовляются. Необходимо выяснить, насколько существенно влияние этого фактора на размеры деталей. Предположим, что совокупности размеров деталей, изготовленных на каждом станке, имеют нормальное распределение и равные дисперсии.

Имеем т станков, следовательно, т совокупностей или уровней, на которых произведено n₁, n₂,..., п_т наблюдений. Для простоты рассуждений предположим, что n₁=n₂=…= п_т. Размеры деталей, составляющие n_i наблюдений на i -м уровне, обозначим х_i1,х _i2,..., x_in. Тогда все наблюдения можно представить в виде таблицы, которая называется матрицей наблюдений (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Уровни	Результаты наблюдений
1	2	…	j	…	n
	x 11	x 12	…	x1j	…	x1n
	x 21	x 22	…	x2j	…	x2n
	x 31	x 32	…	x3j	…	x3n
…	…	…	…	…	…	…
i	xi1	xi2	…	xij	…	xin
…	…	…	…	…	…	…
m	xm1	xm2	…	xmj	…	xmn

 

Будем полагать, что для i -го уровня п наблюдений имеют среднюю β_i, равную сумме общей средней µ и вариации ее, обусловленной i -м уровнем фактора, т.е. β_i = µ + γ_i. Тогда одно наблюдение можно представить в следующем виде:

x_ij = µ + γ_i. +ε_ij = β_i +ε_ij (3.1)

где µ — общая средняя; γ_i — эффект, обусловленный i -м уровнем фактора; ε_ij — вариация результатов внутри отдельного уровня.

Член ε_ij характеризует влияние всех не учтенных моделью (3.1) факторов. Согласно обшей задаче дисперсионного анализа нужно оценить существенность влияния фактора γ на размеры деталей. Общую вариацию переменной x_ij можно разложить на части, одна из которых характеризует влияние фактора γ, другая — влияние неучтенных факторов. Для этого необходимо найти оценку общей средней µ и оценки средних по уровням β_i. Очевидно, что оценкой β является средняя арифметическая п наблюдений i-го уровня, т.е.

Звездочка в индексе при х означает, что наблюдения фиксированы на i-м уровне. Средняя арифметическая всей совокупности наблюдений является оценкой общей средней µ, т.е.

 

Найдем сумму квадратов отклонений x_ij от , т.е.

Представим ее в виде (3.2)

(3.2)

Причем =

 

Но = 0, так как это есть сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической этой же совокупности, т.е. вся сумма равна нулю. Второй член суммы (3.2) запишем в виде:

Или

Слагаемое является суммой квадратов разностей между средними уровней и средней всей совокупности наблюдений. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами и характеризует расхождение между уровнями. Величину , называют также рассеиванием по факторам, т.е. рассеиванием за счет исследуемого фактора.

Слагаемое является суммой квадратов разностей между отдельными наблюдениями и средней i-го уровня. Эта сумма назы­вается суммой квадратов отклонений внутри группы и характеризует расхождение между наблюдениями i-го уровня. Величину называют также остаточным рассеиванием, т.е. рассеиванием за счет неучтенных факторов.

Величину называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных наблюдений от общей средней .

Зная суммы квадратов SS, SS₁ и SS₂, можно оценить несмещенные оценки соответствующих дисперсий - общей, межгрупповой и внутригрупповой (таблица 3.2).

Если влияние всех уровней фактора γ одинаково, то и - оценки общей дисперсии.

Тогда для оценки существенности влияния фактора γ достаточно проверить нулевую гипотезу H₀: = .

Для этого вычисляют критерий Фишера F_B = , с числом степеней свободы k₁= т - 1 и k₂ = т(п - 1). Затем по таблице F-распределения (см. таблицу распределения критерия Фишера) для уровня значимости α находят критическое значение F_кр.

Таблица 3.2

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы k	Оценка дисперсии
Межгрупповая		т-1
Внутри-групповая		m(n - 1)
Полная (общая)		тп - 1

 

Если F_B > F_кр то нулевая гипотеза отвергается и делается заключение о существенном влиянии фактора γ.

При F_B < F_кр нет основания отвергать нулевую гипотезу и можно считать, что влияние фактора γ несущественно.

Сравнивая межгрупповую и остаточную дисперсии, по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.

 

Пример 3.1. Имеется четыре партии тканей для спецодежды. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Номер партии, т	Разрывная нагрузка, даН, п

 

Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

Решение.

В данном случае т = 4, п = 5. Среднюю арифметическую каждой строки вычисляем по формуле

Имеем: =(200+140+170+145+165)/5=164; =170; =202; = 164.

Найдем среднюю арифметическую всей совокупности:

Вычислим величины, необходимые для построения табл. 3.4:

· сумму квадратов отклонений между группами SS₁, с k₁=т –1=

=4-1=3 степенями свободы:

· сумму квадратов отклонений внутри группы SS₂ с k₂ = тп – т= =20-4=16 степенями свободы:

· полную сумму квадратов SS c k=mn-1=20-1=19 степенями свободы:

По найденным значениям оценим дисперсию, по формулам (табл. 3.2) составим (табл. 3.4) для рассматриваемого примера.

Таблица 3.4

Компоненты дисперсии	Суммы квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсий
Межгрупповая			1660,0
Внутригрупповая			454,4
Полная			644,7

 

Проведем статистический анализ по критерию Фишера. Вычислим F_B = =(4980• 1/3)/(7270 • 1/16) =1660/454,4= 3,65.

По таблице F-распределения (см. приложения) находим значение F_Kp при k₂ = 16 и k₁ = 3 степенях свободы и уровне значимости α = 0,01. Имеем F_Kp = 5,29.

Вычисленное значение F_B меньше табличного, поэтому можно утверждать, что нулевая гипотеза не отвергается, а это значит, что различие между тканями в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

В пакете Анализ данных инструмент Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности. Рассмотрим работу пакета для проведения однофакторного дисперсионного анализа.

Решим пример 3.1, используя инструмент Однофакторный дисперсионный анализ.