РГР-1 – «Комплексная позиционная задача»

РГР-1 выполняется на миллиметровой бумаге формата А3 в карандаше. Варианты заданий приведены в прил. 1.

Состав задания. По исходным данным решить следующие частные задачи.

1. По координатам точек А, В и С построить проекции плоскости а, заданной треугольником ∆ АВС.

2. Определить положение точки D, если известно, что она принадлежит плоскости а и отстоит от плоскостей проекций π₃и π₁ соответственно на расстояниях х_D и z_D.

3. Через точку D провести профильную прямую р под углом 60° к плоскости проекции π₁. На данной прямой отложить отрезок DF= 40 мм и определить одно из двух возможных положений точки F.

4. Через точку F провести плоскость γ,параллельную плоскости а. Эту плоскость выразить двумя пересекающимися прямыми т и п: α(m∩n).

5. Определить положение точки Е,принадлежащей плоскости а,если известно, что AE:ED = 2:3.

6. Через точку Е провести прямую l, перпендикулярную плоскости а, и определить видимость прямой относительно плоскости а, ограниченной треугольником ABC.

7. На прямой ι определить положение точки S, если известно, что она отстоит от плоскости проекций π₁на расстоянии z_s.

8. Найти точки встречи (следы) М и N прямой ι с плоскостями проекций π₁ и π₂.

9. Определить видимость прямой ι относительно плоскостей проекций π₁ и π_2.

10. Построить следы β₁ и β₂плоскости β, проходящей через одну из вершин треугольника ABC и перпендикулярной к одной из его сторон (вершина и сторона треугольника заданы исходными данными).

Порядок выполнения работы.

1. По координатам точек А, В и С построить проекции плоскости а, заданной треугольником ∆ ABC. Для этого на поле чертежа (рис. 1) наносят оси пересечения плоскостей проекций OX, OY, OZ (точка " О " – начало координат) и по заданным координатам определяют положение точек А, В и С.

Следует помнить, что горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной прямой, перпендикулярной к оси ОХ (и параллельной осям OY и 0Z), а фронтальная и профильная проекции – на прямой, перпендикулярной к осям OY и OZ (и параллельной оси ОХ). Эти линии называются вертикальной и горизонтальной линиями связи.

Рис. 1

 

Соединив соответствующие проекции точек А, В и С, получим проекции треугольника ABC на плоскостях проекций π₁, π₂ иπ₃.

2. Определить положение точки D, если известно, что она принадлежит плоскости а и отстоит от плоскостей проекций π₃иπ₁соответственно на расстояниях x_D и z_D.

По заданным координатам x_D и z_D на поле чертежа наносят положение проекции D ₂(рис. 2). С целью определения недостающих проекций точки D ₁ воспользуемся дополнительным построением, т.е. в плоскости а проведем прямую b, проходящую через точку D. Для этого на чертеже отложим проекцию b ₂, проходящую через А ₂ и D ₂. Пересечение проекций(B ₂ C ₂) и b ₂ и даст точку l ₂. По линиям связи находим положения проекций точки l на (B ₃ C ₃), а затем строим проекции b ₁ и b ₃. Далее определяем положение недостающих проекций точки D.

 

Примечание. Положение прямой b можно выбрать другим, в зависи­мости от удобства построений.

 

3. Через точку D провести профильную прямую р под углом 60° к плоскости проекции π₁. На прямой р отложить отрезок DF = 40 мм и определить одно из двух возможных положений точки F.

Рис. 2

 

Для построения прямой р воспользуемся свойствами профильной прямой: проекция прямой р на плоскости π₃ изображаетсяв натуральную величину, а на плоскостях π₁ и π₂ – в виде прямых, перпендикулярных к оси ОХ. Следовательно, через точку D₃ (рис.3) под углом 60° к оси ОХ строим проекцию прямой р₃, а через точки D₁ и D₂ – проекции p₁ и р₂ перпендикулярно ОХ. На проекции прямой р₃откладываем отрезок D₃ F₃ = 40 мм и определяем положения точки F. Проекции F₁, F₂ и F ₃ определяются по линиям связей и координате y_F.

4. Через точку F провести плоскость γ, параллельную плоскости а. Эту плоскость выразить двумя пересекающимися прямыми – т и п.

Известно, что плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Через точку F (рис.4) проведем прямые т и п параллельно СВ и АС.

Примечание. Можно выбрать две любые пересекающиеся прямые плоскости а, удобные для построения.

 

5. Определить положение точки E, принадлежащей плоскости а, если известно, что AE:ED = 2:3.

Для построения воспользуемся теоремой Фалеса для любой из проекций отрезка AD и определим положение точки Е (рис. 5).

 

 

Рис. 3

 

6. Через точку Е провести прямую l, перпендикулярную плоскости а, и определить на ней положение точки S.

Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости (рис. 6).

Если в плоскости треугольника ∆ ABC в качестве пересекающихся прямых использовать фронталь и горизонталь, то на основании теоремы о проецировании прямого угла из точки Е можно восстановить проекции перпендикуляра (проекции прямой l) к плоскости а.

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций π₁.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций π₂.

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

 

 

Рис. 6

 

На рис. 6 горизонталью является прямая h, а фронталью – прямая f.

Таким образом, горизонтальная проекция перпендикуляра l ₁, к плоскости а образует прямой угол с горизонтальной проекцией горизонтали плоскости h ₁, а фронтальная проекция перпендикуляра l ₂ – с фронтальной проекцией фронтали плоскости f₂.

Для определения профильной проекции прямой l ₃ воспользуемся дополнительной точкой S. По известной координате z_s находим положение проекции S ₂ на проекции l ₂, а затем проекции S ₁, S ₃ и l ₃.

Видимость прямой l относительно плоскости треугольника ∆ ABC на плоскости проекций π₁ определяется с помощью конкурирующих точек. Для этого отметим наложение прямой l ₁на сторону А ₁ В ₁треугольника точками 3₁ и 4₁. Точка 3 прямой l конкурирует с точкой 4 стороны АВ относительно плоскости проекций π₁. Определим положение этих точек на плоскости π₂, выбирая направление проецирования (на рис. 6 это «→») Первой встречается проекция 4₂, значит, точка 3 закрыта точкой 4 относительно плоскости π₁. Следовательно, отрезок [ 3₁E₁ ] прямой l ₁ относительно плоскости треугольника ∆ ABC до точки пересечения Е невидимый, а далее видимый.

Аналогичным способом определяется видимость для проекций прямой l и треугольника ∆ ABC на плоскостях проекций π₂ и π₃.

7. Найти точки встречи (следы) М и N прямой l с плоскостями проекций π₁ и π₂. Определить видимость прямой l относительно π₁ и π₂ (рис. 7).

Рис. 7

 

Поскольку след прямой есть точка, принадлежащая одновременно прямой l и одной из плоскостей проекций, то проекции следа должны располагаться на одноименных проекциях данной прямой и одна из двух проекций следа должна находиться на оси проекций ОХ как проекция точки, расположенной в плоскости проекций.

Для определения проекций горизонтального следа надо продолжить фронтальную проекцию прямой l до пересечения с осью ОХ. Точка пересечения М ₂ есть фронтальная проекция следа М прямой l. Горизонтальная проекция М ₁ горизонтального следа прямой находится на одноименной проекции l ₁прямой l. Точка М тождественно совпадает с проекцией точки М ₁. Для определения проекции фронтального следа надо продолжить горизонтальную проекцию прямой l до пересечения с осью ОХ. Точка пересечения N ₁ есть горизонтальная проекция следа N прямой l. Фронтальная проекция N ₂ фронтального следа прямой находится на одноименной проекции l ₂ прямой l. Точка N тождественно совпадает с проекцией точки N ₂.

Определим видимость прямой l относительно плоскостей проекций. Прямая l видима только в первой четверти. Следовательно, на чертеже проекция l ₁ видима до точки М ₁ и невидима от точки М ₁ до оси ОХ в четверти, ограниченной XOY. Проекция прямой l ₂ видима только в четверти, ограниченной XOZ, и невидима в других четвертях, т.е. ее видимость ограничивается осью ОХ.

8. Построить следы β₁ и β₂ плоскости β, проходящей через одну из вершин (вершина А) треугольника ∆ ABC и перпендикулярной к одной из его сторон (сторона ВС).

Чтобы провести через точку плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, надо сначала провести через точку горизонталь или фронталь этой плоскости, а затем уже строить ее следы.

Пусть точка А (рис. 8) принадлежит фронтали d плоскости β. На основании следствия о перпендикулярности прямой и плоскости проекция d ₂ образует прямой угол с фронтальной проекцией прямой ВС, т.е. d ₂перпендикулярна В ₂ С ₂.

 

Рис. 8

 

Найдем горизонтальный след фронтали (К≡К ₁), через который пройдет горизонтальный след плоскости β₁, при условии, что β₁ перпендикулярен B ₁ C ₁. Фронтальный след плоскости β₂ изобразится параллельно фронтальной проекции фронтали d ₂ (перпендикулярно В₂С₂)и пройдет через β_x.

 

Таблица 1

Требования к линиям РГР-1

 

№ п/п	Линии в РГР	Тип и толщина линии, мм	Цвет линии
	Оси OX,OY,OZ	0,4	Черный
	Δ ABC, [ DF ]	0,8	Черный
	l видимая	0,8	Синий
	l невидимая	Штриховая 0,4	Синий
	т,n, β	0,8	Красный
	Дополнительные построения	0,2	Черный
	Линии связей	0,2; (длина 5-7 мм)	Черный
	Точки А, В, ...	O 0,2; (диаметр 1-2 мм)	Черный

 

9. После выполнения пунктов 1-8 проводится проверка правильности решения частных задач. Устраняются выявленные ошибки. Производится обводка эпюра согласно требованиям, приведенным в табл. 1. На поле чертежа в правом нижнем углу заносятся фамилия и инициалы студента, номер учебной группы, номер варианта задания и исходные данные. Пример оформления РГР-1 приведен в прил. 11.