Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-11 | 458 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод Фурье или метод разделения переменных, широко используемый при решении ряда задач математической физики, состоит в следующем. Искомая функция, зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами, называемыми задачами Штурма- Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по произведениям собственных функций задач Штурма- Лиувилля. Приведем с х е м у э т о г о м е т о д а для простейших уравнений гиперболического и параболического типов – волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
Рассмотрим однородные уравнения
(2.78) |
, | (2.79) |
для которых граничные условия имеют вид
. | (2.80) |
а начальные условия таковы
(2.81) |
для (2.78)
(2.82) |
для (2.79).
Процесс решения разбивается на два этапа: I – нахождение частных решений; II – нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям.
I. Ищутся всевозможные частные решения (2.78) в виде
. | (2.83) |
В результате подстановки функции такого вида в уравнение (2.78) получаем
или .
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)
Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот факт, что с помощью замены , уравнение
(2.73) |
преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение
|
,
где и - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций и , т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным и , то общее решение примет вид
.
Здесь характеризует прямую волну (кривая смещается вправо со скоростью ), а - обратную волну (кривая смещается влево со скоростью ).
Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны , то по заданным начальным условиям
, | (2.74) |
определяются функции и , и искомое решение имеет вид
. | (2.75) |
Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.
В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то
,
откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.
В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), заданных при , необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке )
(2.76) |
для закрепленной в точке струны,
(2.77) |
для свободного конца в точке ,
.
для упругого закрепления в точке .
В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (2.76), т.е. полагают , , и четным образом для условия (2.77), т.е. , .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением , в момент времени , , если заданы начальные смещения и скорости:
а) ;
б) ;
в) .
Решение. По постановке вопроса надо найти решение задачи Коши (2.73), (2.74) в области: , . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).
Случай а). Полагая в формуле Даламбера , , найдем смещение в любой точке и любой момент :
|
Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:
, .
Кривые изображены на рис. 2.3.
Случай б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. . При колебательный процесс будет описан по формуле
В момент времени струна имеет форму косинусоиды: , а в момент она совпадает с осью абсцисс: .
Случай в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит, . Тогда имеем
Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:
, .
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!