Элементы кинематики поступательного и вращательного движения материальной точки

МЕХАНИКА

 

 

Курс лекций для студентоввсех специальностей, обучающихся поРоссийским образовательным стандартам

 

 

 

Могилев 2010

Содержание

 

Раздел 1 Механика 3

Введение 3

1.1 Элементы кинематики поступательного и вращательного

движения материальной точки 5

1.2 Динамика поступательного движения. Законы Ньютона

в классической механике 14

1.3 Работа и энергия 20

1.4 Полная механическая энергия системы.

Закон сохранения энергии 28

1.5 Динамика вращательного движения твердого тела 31

1.6 Неинерциальные системы отсчета 41

1.7 Элементы релятивистской механики 46

 

РАЗДЕЛ 1 МЕХАНИКА

 

Введение

Физика изучает явления, наблюдаемые в реальном мире, и свойства материальных объектов. Эти явления и свойства мы характеризуем с помощью физических величин. Например, движение характеризуется скоростью и ускорением, свойства тел притягивать друг друга характеризуются массой или зарядом. Наблюдаемые нами явления и физические свойства тел возникают вследствие взаимодействия между телами либо между частицами — атомами и молекулами, из которых состоят материальные тела. В результате этих взаимодействий соответствующие физические величины не остаются постоянными, а испытывают всевозможные изменения. Эти изменения могут происходить как непрерывно, так и скачками, как по величине, так и по направлению. При наблюдении изменений физических величин возникает необходимость в их количественной и качественной оценке. Для этой цели физика использует математические методы.

В отличие от математики, которая изучает количественные и пространственные отношения между рассматриваемыми объектами, физика изучает материальные свойства тел и частиц, из которых состоят эти тела. Как показывает опыт, материальные свойства обусловлены взаимодействиями между телами либо между частицами. В природе существуют разные взаимодействия. Каждое из них имеет свои особенности, и поэтому физика разделяется на ряд областей, изучающих отдельные виды взаимодействий. На первый взгляд физика состоит из целого ряда независимых разделов — механики, термодинамики, электродинамики, оптики и других. На самом деле эти области физики настолько связаны друг с другом, что не могут существовать друг без друга и, строго говоря, даже не могут быть разделены. Ведь сама природа не делит всевозможные взаимодействия на различные виды, в природе все происходит сразу и вместе. Возможность рассмотрения каждого вида взаимодействия по отдельности, как это делается в физике, связана с тем, что при изучении конкретного взаимодействия мы считаем, что другие взаимодействия отсутствуют или очень малы. Можно ли это делать или нельзя, в каждом отдельном случае показывает опыт. В этом заключается существо физического подхода к изучению явлений и свойств материальных объектов.

Наши знания о различных видах взаимодействий возникли не сразу, а развивались последовательно и постепенно. Сначала постигались наиболее простые механизмы взаимодействий, при этом все, что не соответствовало опыту, отбрасывалось, а то, что было нужно и полезно, закладывалось в фундамент Нового знания. Так — от простого к сложному — возводилась конструкция огромного и связанного воедино здания современной физики. При изучении физики мы тоже будем следовать этому естественному принципу.

Во многих случаях действие одного тела на другое или каких-либо частиц друг на друга мы, в конечном счете, обнаруживаем, наблюдая перемещение какого-либо макроскопического тела в пространстве. Макроскопическим мы называем тело, состоящее из большого числа микроскопических частиц — атомов и молекул. На опыте мы всегда имеем дело с макроскопическими телами, хотя результаты опыта позволяют нам часто судить о свойствах составляющих тело микрочастиц (именно так мы узнали о существовании атомов и молекул).

Например, при столкновении одного шара с другим шар, который прежде находился в покое, переместился в пространстве. Изменение электрического тока в цепи мы отмечаем по перемещению стрёлки амперметра. Увеличение температуры мы обнаруживаем по перемещению ртутного столбика в термометре. Конечно, не всегда действие одного тела на другое обязательно приводит к перемещению последнего, во нас сейчас будет интересовать именно такой результат действия, поскольку он является наиболее простым из всех, которые встречаются в природе.

Как показывает опыт, никакое следствие не возникает без причины. В частности, причиной указанных выше перемещений макроскопических тел являются действия на них других тел. Таким образом, измеряя перемещение тела вследствие его взаимодействия с другими телами, мы можем судить о характере и величине этого взаимодействия. Поэтому так важно уметь описывать всевозможные перемещения тела в пространстве и характеризовать состояние тела в процессе его перемещения.

Перемещение тела в пространстве с течением времени представляет собой движение. Раздел физики, в котором изучается движение тел и его изменения в результате действия других тел, называется механикой. В свою очередь раздел механики, в котором изучают свойства движения тел, не рассматривая причин, приводящих к этому движению, называют кинематикой, а раздел механики, в котором изучается изменение движения под действием других тел называют динамикой.

Изучая физику, мы будем иметь дело с физическими величинами. Необходимо ясно представлять себе, что такое физическая величина, чем она отличается от математической иди от величин, рассматриваемых в других науках.

Физика — опытная наука. Все, что мы узнали о материальном мире, возникло из опыта. И любые заключения и предположения, которые мы делаем о свойствах материальных объектов, в конечном счете проверяются на опыте. Другими словами, опыт является окончательным критерием правильности наших представлений. В процессе опыта мы определяем те или иные физические величины, например скорость или температуру. Таким образом, определить физическую величину означает указать способ ее измерения. Физические величины являются наблюдаемыми. Напротив, если мы говорим о какой-либо величине и не можем указать способ ее измерения, то она не является наблюдаемой. Такие величины просто не рассматриваются в физике, не являются ее предметом.

Далее, физические величины являются достоверными в том смысле, что физический опыт должен обладать свойством повторяемости. Это значит, что при повторении опыт, проведенный в равных условиях, должен приводить всякий раз к одинаковому результату. В других науках это не всегда так, и чем менее выполняется это требование, тем менее эта наука достоверна.

Физические величины обладают свойством размерности. Под размерностью физической величины понимают совокупность параметров, необходимых для ее определения. Другими словами, указать размерность физической величины означает указать, какие измерения нужно произвести, чтобы ее определить. Самые простые физические величины — это длина, время и масса. Они имеют, как говорят, собственные размерности, обозначаемые соответственно буквами L, T и M, потому что для их определения никаких других измерений производить не нужно. Но уже, например, для определения скорости тела необходимо произвести два независимых измерения — длины L и времени T. Поэтому размерность скорости есть отношение L / T. Как мы увидим, размерность физической величины находится с помощью формулы, которая служит ее определением.

Подчеркнем, что размерность физической величины и единицы ее измерения — это разные понятия. Например, скорость может измеряться в см/с, или в м/с, или в км/ч, а размерность ее при этом не меняется — она всегда есть L / T, потому что независимо от того, в каких единицах мы измеряем скорость, мы всегда производим измерения одних и тех же двух параметров — длины L, и времени T. Размерность физической величины представляет ее важнейшее свойство. Часто приходится сравнивать между собой различные величины. Физические величины можно сравнивать, только если они обладают одинаковой размерностью. Например, нельзя сравнивать между собой длину пути и отрезки времени: это бессмысленно — они обладают разной размерностью.

 

Ускорение.

Ускорение есть мера изменения скорости во времени:

 

Естественно эту величину, так же как скорость, можно представить в виде проекций скорости и радиус-вектора:

 

 

Величина мгновенной скорости при равнопеременном движении может быть найдена из известного соотношения

 

V_t=V₀±at.

В достаточно общем случае криволинейного движения на плоскости ускорение может иметь как проекцию в направлении движения – касательную а_t, – так и перпендикулярную ей нормальную или центростремительную а_n составляющую (рис.1.4).

Рисунок 1.4 Ускорения при криволинейном движении

Тангенциальное ускорение есть проекция вектора полного ускорения на касательную к траектории, на направление вектора скорости и характеризует быстроту изменения величины скорости (её модуля). По величине сонаправлено с , при равноускоренном движении направлено так же, как и v, при равнозамедленном направлено противоположно .

Нормальное ускорение есть проекция полного ускорения на направление, перпендикулярное , характеризует быстроту изменения положения вектора в пространстве и по величине равно где R – радиус кривизны траектории в данной её точке.

Очевидно, что

 

Особо интересен случай движение тела в поле силы тяжести. В этом случае полное ускорение постоянно равно g – ускорению свободного падения, независимо от формы траектории.

Так, например, если тело брошено горизонтально с какой-то башни (рис.1.5), то легко по рисунку понять, что есть тангенциальное и нормальное ускорения и как они связаны с соответствующими проекциями . Естественно, если сопротивление воздуха не учитывается, то сохраняется величина горизонтальной составляющей скорости V₀=V_x, а вертикальная составляющая растет по закону V_y =gt.

 

х

 

y

 

 

Рисунок 1.5. Движение тела, брошенного горизонтально

Величина пройденного телом пути является важнейшей практической характеристикой, вычисление которой зависит от вида движения: равномерное, равнопеременное, неравномерное. На рис. 1.6 а,б,в представлены графики зависимостей V=V(t) для этих видов движения.

V=const V=V_o+at V=V(t) V_i

V V V _{D Si}

at₁ Dt_i

S V_o S S

O t₁ t₂ t O t₁ t O t₁ t₂ t

a) б) в)

Рис.1.6 Графики V=V(t) при равномерном (а), равнопеременном (б) и неравномерном движениях (в)

Поскольку путь представляет собой графически площадь фигуры под графиком зависимости V=V(t), то при равномерном движении (рисунок 1.6 а) путь, пройденный в интервале времени (t₂ - t₁) просто численно равен площади прямоугольника

S = V×Dt = V(t₂ –t₁).

При равноускоренном движении (рисунок 1.6 б) аналогично путь равен площади трапеции, которую можно определить двумя способами:

1) как сумму площадей прямоугольника и треугольника:

 

S = S_ð + S_Ñ = V_ot₁+;

 

2) по средней линии трапеции (выделена на рис.1.6.б красным цветом)

S = <V>t₁ =

Следует заметить, что приведенный способ определения средней скорости применим лишь при равнопеременном движении.

Если скорость в зависимости от времени изменяется каким-то сложным образом, зачастую не описываемым простыми функциями, то путь вычисляется как сумма, складывающаяся из элементов V_i×Dt_i (см. рис.1.6,в, выделено светло-зеленым цветом), в пределах каждого из которых скорость можно полагать постоянной

где N – число разбиений в интервале времени t₁ – t₂.

Если вид функции V(t) достаточно прост и интегрируем, то

.

Импульс, масса

Воздействие одного физического тела на другое характеризуется физической величиной, называемой силой. Сила, действующая на тело, сообщает ему ускорение. Величина полученного ускорения пропорциональна приложенной силе. Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные ускорения. Данный опытный факт есть проявление уже упоминавшегося свойства инерции тела. Это свойство количественно характеризуется инертной массой тела — коэффициентом пропорциональности между приложенной к телу силой и полученным им ускорением.

Масса рассматривается как количественная мера инерционных свойств тел, их способности «сопротивляться» внешнему силовому воздействию.

Импульс тела Р определяется произведением массы тела на его скорость:

 

Импульс – величина векторная и совпадает по направлению с вектором скорости. Скорость тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается движение тела, поэтому, определяя импульс, необходимо указывать систему отсчета.

 

Второй закон Ньютона

При рассмотрении второго закона Ньютона нужно учесть, что изолированная система – это всё-таки абстракция. Реальные системы, как правило, неизолированные. Например, пока не существует способов экранирования от сил тяготения, чрезвычайно трудно избавиться от влияния сил трения и т.д.

Пусть имеется некая неизолированная система. Тогда её импульс со временем будет обязательно изменяться.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона имеет дело со взаимодействующими, телами. Он утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению. Важно подчеркнуть, что силы, о которых идет речь, приложены к разным взаимодействующим друг с другом телам.

Уравнения Ньютона обладают тем свойством, что некоторые величины, характеризующие движение частицы, остаются неизменными во все время движения. О таких величинах принято говорить, что они сохраняются. Их также называют интегралами движения. Знание интегралов движения позволяет получить ряд важных следствий без фактического решения уравнений движения. Рассмотрим тело или систему тел в отсутствие внешних сил. Система тел, на которую не действуют внешние силы (или векторная сумма этих сил равна нулю), является замкнутой. В этом случае F = 0; как видно из уравнения (1.1)

, (1.2)

т.е. величина, остается постоянной во все время движения. Полученный результат представляет собой закон сохранения импульса, который имеет место как для одного тела, так и для системы тел в отсутствие внешних сил.

Закон сохранения импульса пока не опровергнут ни в каких опытах: ни в макроскопической классической физике, ни в микромире, ни при релятивистских скоростях движения.

Для вывода третьего закона Ньютона рассмотрим изолированную систему, состоящую только из двух взаимодействующих тел. Полный импульс такой системы составляет . Продифференцируем это уравнение по времени и учтем закон сохранения импульса

 

 

Из второго закона Ньютона

 

 

где F₁₂ – сила, действующая со стороны второго тела на первое, а F₂₁ – сила, с которой первое тело действует на второе. Их еще называют силами действия и противодействия.

Мы получили третий закон Ньютона:

 

 

Следует учитывать, что третий закон Ньютона строго выполняется лишь для статических и контактных взаимодействий. Дело в том, что сигнал взаимодействия распространяется с конечной скоростью: в вакууме со скоростью света, в твердом теле – со скоростью продольной волны.

 

Центр инерции

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным инерциальным системам отсчета. Если система отсчета K' движется относительно системы K со скоростью V, то скорости частиц v'_α и v_α в этих системах связаны соотношением v_α = v'_α + V. Поэтому связь между значениями P и P' импульса в этих системах дается формулой:

 

или

 

Всегда можно подобрать такую систему отсчета K', в которой полный импульс обращается в нуль. Положив P' =0, находим, что скорость этой системы отсчета

 

. (1.3)

 

Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы координат. Скорость V имеет смысл скорости движения механической системы как целого с отличным от нуля импульсом. Связь между импульсом P и скоростью V системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой, равной сумме масс в системе, .

Правая сторона формулы (1.3) может быть представлена как полная производная по времени от выражения:

 

(1.4)

 

Можно сказать, что скорость V системыкак целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (1.4). Такая точка является центром инерции системы.

Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Это есть обобщение закона инерции для свободной материальной точки.

 

Работа и энергия

 

Физическая величина силы тесно связана с другой очень важной величиной – величиной работы. Из курса физики средней школы известно, что, если на частицу, движущуюся по прямой линии, действует сила F, направленная под углом a к направлению движения (рис.1.10), то работа силы при перемещении частицы равна

 

DA = F×Dr×cosa,

 

где Dr – перемещение тела.

F

A r

 

D r

 

Рисунок 1.10 К понятию механической работы

 

В векторных обозначениях это выражение можно записать так:

 

,

 

здесь – скалярное произведение векторов

Единицей работы в Си является 1Дж = 1Н×1м.

Записанные формулы справедливы только в случае постоянной силы и прямолинейного движения частицы.

Рассмотрим более сложный случай движения по бесконечно малому участку траектории произвольного вида, заключенному между бесконечно близкими точками пространства, описываемыми радиус-векторами (рис.1.11).

 

z

dr`

r` r`+dr`

F

 

y

 

x

 

Рисунок 1.11 Определение величины работы при движении тела по сложной траектории

 

Предположим, что в точке на частицу действует сила Вследствие малости перемещения мы можем пренебречь изменением силы на нем (в противном случае ничто нам не помешает сделать более мелкое разбиение!). Кроме того, разбиение нужно продолжать до тех пор, пока сам участок пути не перестанет отличаться от вектора (т.е. пока касательная к траектории не совпадет с хордой дуги). Можно будет считать, что частица движется прямолинейно вдоль . Тогда к этому бесконечно малому отрезку можно применить формулу, определяющую величину элементарной работы, совершаемой силой F:

 

 

Работа на любом конечном участке траектории, заключенном между точками r_o` и r`, определяется суммой всех элементарных работ, производимых при данном перемещении.

Эта сумма равна

 

и называется интегралом работы.

Графически работу можно представить площадью под графиком F = F(r) (рис.1.12).

 

 

F

F(r)

 

DA

 

0 r₀` r` r

 

Рисунок 1.12. К определению интеграла работы

 

Мощность

Механическая энергия

Понятно, что получение механической энергии требует затраты некоторых ресурсов. Таким источником работы является запас энергии системы.

Энергией системы, в принципе, является запас работы, которую эта система может совершить (а может и не совершить).

При этом в механике различают потенциальную и кинетическую энергию.

Потенциальная энергия

Ранее мы установили, что работа силы вычисляется суммированием по многим точкам, т.е. по многим состояниям системы. В общем случае работа зависит от того, каким образом меняется состояние (изменение состояния системы называется процессом, так что работа является функцией процесса, это особенно ярко проявляется в термодинамике).

Если речь ведется о перемещении тела в пространстве, то в общем случае работа зависит от формы и длины траектории. Однако оказывается, что не всегда.

Существуют силы, работа которых точно определяется лишь начальным и конечным состояниями частицы, и форма траектории на величину работы не влияет. Такие силы называются потенциальными или консервативными.

z

A B

r_o D

r₁

 

 

x

y

 

 

Рисунок 1.13 К определению понятия потенциального поля сил.

 

На рис.1.13 изображены участки АСВ и ADB двух траекторий, соединяющих одни и те же точки А и В. Если интеграл силы (работа) вдоль участка ADB совпадает с интегралом вдоль пути АСВ, то сила потенциальна (говорят иначе – поле сил потенциально). Если это не так, то сила относится к числу непотенциальных. Установлено, что потенциальными являются важнейшие фундаментальные силы – гравитационного и электростатического взаимодействия.

Так как работа, совершенная любой силой, может быть найдена в виде интеграла

 

а для случая потенциального поля сил совершенная работа не зависит от формы пути, зависит лишь от начального и конечного положений тела, можно ввести функцию U(r)-функцию координат, определяющую запас потенциальной энергии системы. Тогда совершенная системой работа по перемещению материального тела из точки с координатой в точку с координатой можно найти как разность значений функции U(r), т.е.

 

DA = DU(r) = U(r₁) – U(r_o) = U₂ – U₁.

 

Эта функция U, зависящая от свойств системы, создающей силовое поле и свойств перемещаемого тела (например, его массы, положения в пространстве и т.п.) – называется потенциальной энергией системы.

Работа потенциальной силы всегда равна со знаком минус изменению потенциальной энергии частицы при её перемещении из одного положения в другое.

Точный вид функции U зависит от конкретного силового поля и вида взаимодействия. Кулон, с учетом выбора граничных условий, при котором потенциальная энергия системы бесконечно удаленных друг от друга тел равна 0, предложил вид потенциальной функции Для важнейших силовых полей мы получим значение коэффициента a несколько позже.

Измеряется потенциальная энергия в тех же единицах, что и работа, т.е. в джоулях.

 

Кинетическая энергия

Выше подчеркивалось, что механическая работа, которую может совершить физическая система, определяется разностью энергий системы в конечном и начальном состояниях

 

 

Работа, которую система (тело) может совершить вследствие изменения состояния своего движения, характеризует кинетическую энергию системы (тела).

Определяющими параметрами здесь являются скорость и импульс тела.

Пусть под действием некоторой силы F тело массой m = const при прямолинейном движении увеличило свою скорость от v₁ до v₂ (рис.1.16). Сила в общем случае может изменяться от точки к точке, т.е. F = F(S).

 

F v₁ F v₂

 

S

Рисунок 1.16 К выводу кинетической энергии

 

Разбиваем участок S на отрезки dS, достаточно малые, чтобы считать F = const. Тогда Учитывая, что – мгновенное значение силы на отрезке dS, получаем, после замены порядка дифференцирования по однородному параметру S:

 

.

 

Поскольку в начальный момент времени скорость была равна v₁, а в конце стала равной v₂, то

 

и есть кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v.

Если учесть, что mv = p – импульс тела, то можно получить

 

, откуда, кстати,

 

 

Момент инерции тела

Для тела произвольной формы и массы момент инерции может быть найден суммированием где Dm_i – элементарные массы, на которые следует разбить тело при определении его момента инерции, а r_i – расстояние i-того элемента до оси вращения. Для симметричных тел простой формы операция суммирования заменяется интегрированием.

Так как физические тела могут иметь весьма сложную форму и ось вращения может иметь бесконечное множество ориентаций, бессмысленно говорить о величине момента инерции любого тела, как о чем-то фиксированном и навечно застывшем.

При выборе положения оси вращения естественное преимущество отдают осям вращения, проходящим через центр инерции (ЦИ) тела. Пусть выбрана обычная прямоугольная система, с направлениями осей, совпадающими с направлениями геометрической симметрии тела. Для всех тел, кроме простейшего - однородного шара, момент инерции относительно каждой из осей оказывается различным. В общем случае момент инерции тела характеризуется тензором второго ранга (определитель 3´3).

, где

Момент инерции тела относительно оси, проходящей через его ЦИ, называется собственным моментом инерции.

В случае непрерывного распределения массы (без пустот, вырезок, инородных включений и т.п.) компоненты тензора относительно, например, оси y, приобретают интегральный вид

 

Рассмотрим частные случаи вычисления моментов инерции.

 

Момент инерции цилиндра

Момент инерции однородного цилиндра, диска, полого цилиндра и т. п. вычислим относительно его геометрической оси. Любое из этих тел мы можем мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R_o на концентрические слои толщиной dR (рис.1.21). Пусть радиус какого-то слоя R; тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

 

dm = 2pRhr×dR,

 

где h – высота цилиндра;

r – плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя (рис.1.21):

 

 

 

 

Рисунок 1.21

 

dI = dm×R² = 2prhR³×dR

 

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов или момент инерции всего цилиндра

 

(1.19)

 

Вспоминая, что масса цилиндра m = pR_o²hr, можно записать так:

 

(1.20)

Формула (1.20) выражает момент инерции сплошного однородного цилиндра.

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R₁, а внешний R₀ просто вычислить по формуле (1.19), нужно только в интеграле поставить другие пределы, а именно:

 

 

Замечая, что масса полого цилиндра равна , запишем момент инерции полого толстостенного цилиндра так:

 

(1.21)

 

Таким же простым путем можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно разбить на совокупность полых цилиндров, колец, дисков.

 

Момент инерции стержня

Рассмотрим еще пример определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, но не являющейся осью симметрии. До сих пор мы вычисляли момент инерции относительно оси симметрии; вычисление же момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс, представляет более сложную задачу. Поэтому рассмотрим сначала самый простой пример: определим момент инерции тонкой палочки длиной l и массы m относительно оси, составляющей с направлением палочки угол a и проходящей через ее центр масс (рис.1.22).

Рисунок 1.22 О моменте инерции стержня

 

 

Обозначим через х расстояние от середины палочки какой-то частицы длиной dx. Масса частицы равна и находится она на расстоянии f от оси, f = x×sina. Момент инерции равен

 

,

 

а момент инерции всей палочки

 

(1.22)

 

Очевидно, если палочка перпендикулярна к оси вращения , то

 

(1.23)

 

Здесь при вычислении момента инерции мы считали палочку очень тонкой, математически это значит, что диаметр сечения палочки имеет бесконечно малую величину, а при обычных приближенных вычислениях мы полагаем, что диаметр палочки ничтожно мал по сравнению с ее длиной.

 

Теорема Штейнера.

Выше было показано, что момент инерции тела зависит от массы тела и закона распределения этой массы в пространстве, т.е. формы тела. Зависит он также и от положения оси вращения в пространстве.

Если мы каким-либо способом определим момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс (собственный момент инерции, обозначаемый I_o), то очень просто определить момент инерции относительно любой параллельной ей оси.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через ЦИ, равен I_o, то момент инерции относительно оси, параллельной первичной и проходящей от неё на расстоянии «а», будет равен

 

I = I_o + ma²,

где I_o – собственный момент инерции,

m – масса тела,

а – расстояние между осями.

Это и есть теорема Гюйгенса-Штейнера, или просто теорема Штейнера.

 

Работа момента силы

Запас кинетической энергии вращательного движения тела создается за счет работы внешних сил, обеспечивающих движение. Найдем работу А, совершаемую моментом сил М при повороте тела на угол j (рис.1.24).

Элементарная работа силы при повороте на угол dj равна

dA = F×dS,

где dS – перемещение, длина дуги, равнаяdS = r× dj.

O

Рисунок 1.24 К определению работы момента силы

 

r dj

F

 

 

O`

Следовательно,

F× dA = r×dj, но F×r = М – момент сил, тогда dA = M×dj.

Гироскопы

Гироскопический эффект заключается в сохранении ориентации в пространстве положения оси вращения тяжелого тела, вращающегося в трехплоскостном «кардановом» подвесе (рис.1.29)