Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-10-11 | 485 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения уравнений эллиптического типа методом сеток.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Требуется найти решение уравнение
(1)
в области ,если
, (2)
где -граница области ; -заданная непрерывная функция.
Чтобы найти решение данной задачи методом сеток покроем область прямоугольной сеткой :
; ,
где -точка, лежащая внутри области; и - шаги сетки по и соответственно;
Заменим в узлах производные и конечно- разностными соотношениями
;
;
Тогда для каждого внутреннего узла сетки уравнение (1) заменится конечно-разностным уравнением вида
, (3)
где .
Границу данной области заменим границей сеточной области. Если узел сетки лежит на границе области , то значение в этом узле совпадает со значением в данной точке. Если же граничный узел не лежит на границе, то можно выполнить одну из следующих процедур:
1. Положить, что в данном узле функция равна значению функции в ближайшей точке границы, отстоящей от данного узла на расстояние по оси или
.
2. Для определения значения функции в граничном узле использовать линейную интерполяцию
,
где -соседний внутренний узел, причем , если лежит внутри области, и ,если есть внешняя точка для области .
Выбор шагов производится в зависимости от конкретной задачи, но таким образом, чтобы при этом контур сеточной области как можно лучше аппроксимировал контур данной области .
От выбора зависит также величина остаточного члена при замене дифференциального уравнения (1) конечно-разностным уравнением (3). Следовательно, должны быть выбраны таким образом,чтобы этот остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении.
Особенно простой вид примет система (3) при :
|
(4)
Следовательно, чтобы решить задачу,надо выбрать шаг сетки, построить сеточную область, найти значения в граничных узлах сетки, записать систему алгебраических уравнений для внутренних и граничных узлов сетки, решить полученную полную систему любым методом (метод Гаусса, метод Зейделя и т.д.). При этом погрешность приближенного решения задачи Дирихле будет складываться из трех погрешностей: погрешности замены дифференциального уравнения разностным, погрешности аппроксимации граничных условий, погрешности решения системы уравнений.
При большом числе внутренних узлов решение системы уравнений затруднительно. Чтобы решить задачу Дирихле в данном случае, применяют процесс Либмана.
Для этого выбирают начальные приближения . Теоретически в качестве этих значений можно выбрать любую систему чисел. Практически, чтобы найти значения , решают задачу Дирихле с большим шагом, обычно с шагом , чтобы получить систему меньшего числа уравнений, принимая значения в граничных узлах равными значениям функции в ближайших точках границы. Значения функции во всех остальных внутренних узлах находят по формуле
.
Затем значения функции в граничных узлах исправляют по формулам линейной интерполяции, а значения функции во внутренних узлах исправляют по формулам
.
Процесс продолжается до тех пор, пока не совпадут значения функций в двух последовательных приближениях.
III. ЗАДАНИЕ
Найти решение уравнения
в области , если на границе области
Варианты заданий.
№ | |||
1. | |||
2. | |||
3. | |||
4. | |||
5. | |||
6. | |||
7. | |||
8. | |||
9. | |||
10. | |||
11. | |||
12. | |||
13. | |||
14. | |||
15. | |||
16. | |||
17. | |||
18. | |||
19. | |||
20. | |||
21. | |||
22. | |||
23. | |||
24. | |||
25. |
IV. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
В отчете должны быть представлены:
1. Название работы.
2. Постановка задачи.
3. Описание алгоритма (метода) решения.
4. Текст программы с описанием.
|
5. Результаты работы программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
3. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.
4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Наука, 1966. 632 с.
3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967 368 с.
Лабораторная работа № 18
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!