Решение систем с трехдиагональной матрицей методом прогонки

 

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения систем с трехдиагональной матрицей.

 

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Наиболее важным частным случаем метода Гаусса является метод прогонки, применяемый к системам с трехдиагональной матрицей.

Трехдиагональной называется матрица, у которой ненулевые элементы имеются только на главной диагонали и на примыкающих к ней диагоналях, т.е. при . Такие системы часто встречаются при решении краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

Системы с трехдиагональной матрицей обычно записываются в каноническом виде:

Формула (1) называется разностным уравнением второго порядка или трехточечным уравнением. В этом случае прямой ход без выбора главного элемента сводится к исключению элементов . Получается треугольная система, содержащая в каждом уравнении только два неизвестных и . Поэтому формулы обратного хода имеют следующий вид:

Уменьшим в (2) индекс на единицу и подставим в уравнение (1). Получим

Отсюда имеем

Сравнивая выражения (2) и (3), получаем

Формулы (4) - это формулы прямого хода.

Для проведения расчета формально требуется задать величины и , которые неизвестны. Однако перед величинами и в формуле (4) стоит коэффициент . Поэтому можно начать вычисления, полагая, например, . В формуле (2) перед стоит множитель , который на основании первой из формул (4) равен нулю, т.к. . Поэтому можем положить, например, .

Таким образом, для решения системы (1) выполняется сначала прямой, а затем обратный ход по формулам (4) и (2). Если выполнено условие преобладания диагональных элементов:

причем хотя бы для одного имеет место неравенство, то в формулах прямого хода (4) не возникает деления на нуль, и тем самым система (1) имеет единственное решение.

При выполнении условия (5) формулы прогонки устойчивы относительно ошибок округления и позволяют успешно решать системы уравнений с несколькими сотнями неизвестных.

Условие (5) является достаточным, но не необходимым условием устойчивости прогонки. На практике для хорошо обусловленных систем типа (1) прогонка часто оказывается достаточно устойчивой даже при нарушении условия преобладания диагональных элементов.

 

III ЗАДАНИЕ

Найти решение системы методом прогонки

где - номер фамилии студента в журнале группы;

- последняя цифра индекс номера группы.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

Лабораторная работа № 5

 

НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

МАТРИЦЫ МЕТОДОМ КРЫЛОВА

 

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков отыскания собственных значений матрицы.

 

II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Рассмотрим один из методов развертывания характеристических определителей – метод Крылова.

Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

. (1)

Согласно теореме Гамильтона-Кели матрица A обращает в ноль свой характеристический многочлен

. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор . Умножая равенство (2) на этот вектор, получим

. (3)

Положим

(). (4)

Тогда равенство (3) приобретает вид

, (5)

где ().

Векторное равенство (5) эквивалентно системе уравнений

(). (6)

На основании формулы (4) имеем

Поэтому

(; ). (7)

Таким образом, коэффициенты системы (6) вычисляются по формулам (7). Из системы линейных алгебраических уравнений (6) определяем неизвестные ().

Определив коэффициенты (), получим выражение для характеристического многочлена матрицы A. Теперь можем найти корни характеристического уравнения

,

которые являются собственными значениями матрицы A.

III. ЗАДАНИЕ

Построить характеристический многочлен матрицы A. Найти его корни.

Матрица A имеет элементы

где - номер фамилии студента в журнале группы; - последняя цифра номера группы.

 

IV. Оформление отчета

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физматгиз, 1966. 632 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

Лабораторная работа № 6